Решение дифференциального уравнения

[Rostislav1]

Добрый день. Столкнулся я с одним непростым для меня уравнением из сборника Филиппова. Я его решил, но ответ абсолютно не совпадает с ответом из сборника(я понимаю, что такое возможно, но мне кажется, что не в этот раз :) ). Помогите пожалуйста найти ошибку в решении.
$\[yy'(yy' - 2x) = {x^2} - 2{y^2}\]$
Решаю его, как квадратное относительно $\[y'\]$
получаю:
$\[D = 4{y^2}(2{x^2} - 2{y^2})\]$
Отсюда
$\[y' = \frac{{x \pm \sqrt {2{x^2} - 2{y^2}} }}{y}\]$
рассматриваю первый случай, когда $\[y' = \frac{{x - \sqrt {2{x^2} - 2{y^2}} }}{y}\]$
$\[yy' = x - \sqrt {2{x^2} - 2{y^2}} \]$
Решаю его, как однородное
$\[\begin{gathered} y = zx,y' = z'x + z \hfill \\ zx(z'x + z) = x - \sqrt {2{x^2} - 2{z^2}{x^2}} \hfill \\ z' = \frac{{1 - {z^2} - \sqrt {2 - 2{z^2}} }}{{zx}} \hfill \\ \int {\frac{{zdz}}{{1 - {z^2} - \sqrt {2 - 2{z^2}} }} = \int {\frac{{dx}}{x}} } \hfill \\ - \ln |\sqrt {1 - {z^2}} - \sqrt 2 | = ln(cx) \hfill \\ c\sqrt {{x^2} - {y^2}} - \sqrt 2 cx = 1 \hfill \\ \end{gathered} \]$
Рассматривая второй случай, где
$\[y' = \frac{{x + \sqrt {2{x^2} - 2{y^2}} }}{y}\]$
Я получил
$\[c\sqrt {{x^2} - {y^2}} + \sqrt 2 cx = 1\]$

[Dosaev]

А вы правильно проинтегрировали?

[Rostislav1]

Скорее всего правильно
$\[\begin{gathered} \int {\frac{{zdz}}{{1 - {z^2} - \sqrt {2 - 2{z^2}} }} = \left| {p = {z^2}} \right|} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dp}}{{1 - p - \sqrt 2 \sqrt {1 - p} }} = \left| {1 - p = w;dp - dw} \right| = } \hfill \\ = - \frac{1}{2}\int {\frac{{dw}}{{w - \sqrt 2 \sqrt w }}} = \left| {\sqrt w = t;dw = 2tdt} \right| = - \int {\frac{{tdt}}{{{t^2} - \sqrt 2 t}} = - \ln |t - \sqrt 2 | + c = - ln|\sqrt {1 - {z^2}} - \sqrt 2 |} \hfill \\ \end{gathered} \]$

[provincialka]

Ваши первые интегралы легко решить относительно $y^2$. Решите и подставьте в исходное уравнение.

Кстати, странно, почему вы сразу не обозначили $y^2=z$.

[Rostislav1]

Что-то я не понял - какие первые интегралы?

[provincialka]

Rostislav1 в сообщении #790381 писал(а):

Что-то я не понял - какие первые интегралы?

Вот эти

Rostislav1 в сообщении #790356 писал(а):

$ c\sqrt {{x^2} - {y^2}} - \sqrt 2 cx = 1 $
$\[c\sqrt {{x^2} - {y^2}} + \sqrt 2 cx = 1\]$

Кстати, их можно объединить в один.

[Rostislav1]

$\[{y^2}\]$ из этих равенств я выражал(если Вы об этом), но ответ был все равно далек от ответа в сборнике. Там вообще один из ответов это $\[y = \pm x\]$

[svv]

Rostislav1
В Вашей формуле $c\sqrt {x^2- y^2} - \sqrt 2 cx = 1$ замените $c=-\frac{\sqrt 2}K$, и после преобразований можно получить то, что в книге.

provincialka
В книге в задании написано «Уравнения такие-то разрешить относительно $y'$, после чего общее решение искать обычными методами». Т.е. естественный путь перекрыт.

[provincialka]

Если в первом уравнении не искать дискриминант, а выделить полный квадрат, получим $\[(yy'-x)^2 = 2x^2 - 2y^2\]$, так что замена $z=x^2-y^2$ сразу упрощает уравнение.

При любом способе решения надо учитывать частные случаи, которые могут потеряться при делении на функцию. А вдруг она равна 0?

[Rostislav1]

svv, т.е. мои решения все таки являются верными? Даже если сделать такую замену - $\[y = \pm x\]$ у меня никак не получаются

provincialka, сейчас попробую сделать так, как Вы посоветовали

[svv]

А первый ответ получается?

[provincialka]

Rostislav1 в сообщении #790411 писал(а):

Даже если сделать такую замену - $\[y = \pm x\]$ у меня никак не получаются

Естественно! Вы же поделили на функцию $1-z^2-\sqrt{2-2z^2}$, которая обращается в 0 при $z=\pm1$. При необдуманном делении часто теряются решения.

[Rostislav1]

provincialka, да, точно, спасибо.

svv,
при такой подстановке в $\[c\sqrt {{x^2} - {y^2}} - \sqrt 2 cx = 1\]$, у меня получилось $\[2x(x + 2k) + 2{y^2} = {k^2}\]$
А при подстановке в $\[c\sqrt {{x^2} - {y^2}} + \sqrt 2 cx = 1\]$, получилось $\[2{x^2}(1 + 2{k^2}) + 2{y^2} = - {k^2}\]$ т.е. оба выражения не такие, как в ответах. А от куда Вы взяли такую замену?

[svv]

Как это не получилось?
$c\sqrt {{x^2} - {y^2}} - \sqrt 2 cx = 1$
$c\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 1+\sqrt 2 cx$
$\sqrt {{x^2} - {y^2}} = \frac 1 c+\sqrt 2 x$
$\sqrt {{x^2} - {y^2}} = -\frac K {\sqrt 2}+\sqrt 2 x$
$\sqrt 2\sqrt {{x^2} - {y^2}} = -K+2 x$
$2(x^2 - y^2)=4x^2-4xK+K^2$
$2 x^2 - 2y^2=4x^2-4xK+K^2$
$2x^2-4xK+K^2+2y^2=0$
$2x^2-4xK+2K^2+2y^2=K^2$
$2(x-K)^2+2y^2=K^2$

[Rostislav1]

svv,видимо, я ошибся у себя в вычислениях где-то. Но при такой подстановке в $\[c\sqrt {{x^2} - {y^2}} + \sqrt 2 cx = 1\]$, получается еще одно решение:$\[2{(x + k)^2} + 2{y^2} = {k^2}\]$. В ответах про это решение ничего не сказано. И мне все таки интересно, от куда Вы взяли такую замену? просто подбором?