Решил систематизировать свои каляки по мотивам Зельманова и собрать их в некую единообразную форму. Оттого и зачинаю тут неторопливый процесс сей. Материал, в принципе, винрарный, не дискуссионный и благополучно всеми позабытый. Но, вдруг кого заинтересует? Из моего тут будет только обозначения, один упрощающий выкладки трюк и порядок вывода слонов на манеж. Ну и ежели где упаду носом в грязь, то всяческое поправление желательно. Итак, все обозначения как в ЛЛ2 и... понеслась!Рассмотрим интервал

Запишем его в виде
![$$\[
\begin{gathered}
ds^2 = g_{00} \left( {dx^0 } \right)^2 + 2g_{0i} dx^0 dx^i + g_{ik} dx^i dx^k = \hfill \\
= \left( {\sqrt {g_{00} } dx^0 + \frac{{g_{0i} }}
{{\sqrt {g_{00} } }}dx^i } \right)^2 - \left( { - g_{ik} + \frac{{g_{0i} g_{0k} }}
{{g_{00} }}} \right)dx^i dx^k \hfill \\
\end{gathered}
\]
$$ $$\[
\begin{gathered}
ds^2 = g_{00} \left( {dx^0 } \right)^2 + 2g_{0i} dx^0 dx^i + g_{ik} dx^i dx^k = \hfill \\
= \left( {\sqrt {g_{00} } dx^0 + \frac{{g_{0i} }}
{{\sqrt {g_{00} } }}dx^i } \right)^2 - \left( { - g_{ik} + \frac{{g_{0i} g_{0k} }}
{{g_{00} }}} \right)dx^i dx^k \hfill \\
\end{gathered}
\]
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/f/fcf22cf5169a3d1ff1b0eeb1081d62a882.png)
(Отметим на полях, что мы серьёзно себя ограничили:

)
Введём обозначения
![$$\[
\begin{gathered}
h \equiv \sqrt {g_{00} } \hfill \\
a_i \equiv - \frac{{g_{0i} }}
{{\sqrt {g_{00} } }} \hfill \\
\bar g_{ik} \equiv - g_{ik} + \frac{{g_{0i} g_{0k} }}
{{g_{00} }} \hfill \\
\end{gathered} \eqno (0)
\]
$$ $$\[
\begin{gathered}
h \equiv \sqrt {g_{00} } \hfill \\
a_i \equiv - \frac{{g_{0i} }}
{{\sqrt {g_{00} } }} \hfill \\
\bar g_{ik} \equiv - g_{ik} + \frac{{g_{0i} g_{0k} }}
{{g_{00} }} \hfill \\
\end{gathered} \eqno (0)
\]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/f/82f47d8946eb7238a1cc71ab9b41caa482.png)
(черта над

будет объяснена позже)
В новых обозначениях интервал принимает вид
![$$\[
ds^2 = \left( {hdx^0 - a_i dx^i } \right)^2 - \bar g_{ik} dx^i dx^k \eqno (1)
\]
$$ $$\[
ds^2 = \left( {hdx^0 - a_i dx^i } \right)^2 - \bar g_{ik} dx^i dx^k \eqno (1)
\]
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/e/3de5271846dc07ff817e7a37ad76875282.png)
Ковариантные компоненты метрики выражаются через новые величины следующим образом
![$$\[
\begin{gathered}
g_{00} = h^2 \hfill \\
g_{0i} = - ha_i \hfill \\
g_{ik} = - \bar g_{ik} + a_i a_k \hfill \\
\end{gathered} \eqno (2)
\]
$$ $$\[
\begin{gathered}
g_{00} = h^2 \hfill \\
g_{0i} = - ha_i \hfill \\
g_{ik} = - \bar g_{ik} + a_i a_k \hfill \\
\end{gathered} \eqno (2)
\]
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/4/794cc07bde0c68773de0a69128a9b46b82.png)
Теперь выделим особо совокупность линий, задаваемых уравнениями

Линии эти - мировые, по ним в принципе способны жить наблюдатели и если таковые наблюдатели по ним и правда живут, то мы будем называть их
покоящимися в данной системе тел отсчёта, а саму совокупность линий

-
системой тел отсчёта.
Если наши координаты не имеют никаких нехороших свойств в окрестности изучаемого события, то через каждое событие рассматриваемой окрестности проходит ровно одна линия

и тогда говорят, что эти линии образуют
конгруэнцию. В рассматриваемом случае - времениподобную.
На ситуацию можно взглянуть по-другому: введя касательное к нашим линиям векторное поле

. Поскольку все линии предполагаются мировыми, поле можно нормировать

. Такое нормированное векторное поле называется
монадой и тоже может быть использовано для задания системы тел отсчёта.
Пусть выбрана некоторая система тел отсчёта. Координаты, в которых мировые линии наблюдателей, покоящихся относительно выбранной системы тел отсчёта, задаются уравнениями

будем называть
координатами, сопутствующими системе тел отсчёта или просто
сопутствующими координатами.
Для равенств, справедливых в сопутствующих координатах, будем пользоваться знаком

.
Так, просто по определению

и

.
Найдём выражения компонент монады в сопутствующих координатах. Для этого отталкиваемся от

и активно пользуемся

. Например,

и т.д. Результат следующий
![$$\[
\begin{gathered}
\tau ^0 \sim h^{ - 1} \hfill \\
\tau ^i \sim 0 \hfill \\
\tau _0 \sim h \hfill \\
\tau _i \sim - a_i \hfill \\
\end{gathered} \eqno (4)
\]
$$ $$\[
\begin{gathered}
\tau ^0 \sim h^{ - 1} \hfill \\
\tau ^i \sim 0 \hfill \\
\tau _0 \sim h \hfill \\
\tau _i \sim - a_i \hfill \\
\end{gathered} \eqno (4)
\]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/8/038edc89fb3d28059d1671aba7eb13fe82.png)
Имея

, можно построить следующее разложение единичного тензора

Фактически, это определение тензора

. Его очевидные свойства

и

говорят, что перед нами тензор-проектор на ортогональную

гиперплоскость. В сопутствующих координатах он имеет следующие компоненты
![$$\[
\begin{gathered}
\gamma _0^0 \sim 0 \hfill \\
\gamma _0^i \sim 0 \hfill \\
\gamma _i^0 \sim h^{ - 1} a_i \hfill \\
\gamma _k^i \sim \delta _k^i \hfill \\
\end{gathered} \eqno (6)
\]
$$ $$\[
\begin{gathered}
\gamma _0^0 \sim 0 \hfill \\
\gamma _0^i \sim 0 \hfill \\
\gamma _i^0 \sim h^{ - 1} a_i \hfill \\
\gamma _k^i \sim \delta _k^i \hfill \\
\end{gathered} \eqno (6)
\]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/3/4d36db5e21b19651703176e215a0c74982.png)
Свернём

с вектором

, что даст

, и введём следующие обозначения
![$$\[
\begin{gathered}
v^* \equiv \tau _\alpha v^\alpha \hfill \\
v^{\bar \mu } \equiv \gamma _\alpha ^\mu v^\alpha \hfill \\
v_* \equiv \tau ^\alpha v_\alpha \hfill \\
v_{\bar \mu } \equiv \gamma _\mu ^\alpha v_\alpha \hfill \\
\end{gathered} \eqno (7)
\]
$$ $$\[
\begin{gathered}
v^* \equiv \tau _\alpha v^\alpha \hfill \\
v^{\bar \mu } \equiv \gamma _\alpha ^\mu v^\alpha \hfill \\
v_* \equiv \tau ^\alpha v_\alpha \hfill \\
v_{\bar \mu } \equiv \gamma _\mu ^\alpha v_\alpha \hfill \\
\end{gathered} \eqno (7)
\]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/b/41bed984af70d853bf43bd9458c17bb682.png)
Так что любой вектор раскладывается на продольную и поперечную части
(* Продолжение следует *)