Дисперсия сложной оценки.

[Neytrall]

Здраствуйте,
мне нужно высчитать дисперсию такой вот оценки:

$\Delta_{ITT}=\ln(\frac{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}})-\ln(\frac{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}})$

$C$ - группа получившая плацебо, $T$ - группа получившая лекарство. Они независимы, поэтому:

$Var(\Delta_{ITT})=Var(\ln(\frac{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}}))+Var(\ln(\frac{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}}))$

Я не понимаю как тут дальше быть. Метод дельта не вариант. Может быть по формуле $Var(X)=\mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2$ ?
Направьте на путь истины.

[Neytrall]

Я плюнул на попытки высчитать точное значение, и решил воспользоваться Дельта-методом. У меня есть две группы $T$ и $C$, допустим я знаю вероятности каждого исхода для каждой группы, а то есть $P(Y^T=1),P(Y^T=w),P(Y^C=1)P(Y^C=w)$.
Теперь, сосредоточимся на $Var(\ln(\frac{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}}))$.
По Дельта-методу:
$Var(g(x)) \approx (g'(x))^2Var(x)$
$n_T$- количество людей в группе $T$
$(g'(x))^2$ - посчитать не проблема, поскольку в этом случае $x=\frac{1}{n_T}\sum_{i\in T}\left[I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}\right]$, а $g(x)=\ln{\frac{x}{1-x}}$.
Осталось посчитать лишь $Var(x)$ по формуле: $Var(x)=\mathbb E(x^2)-\mathbb E(x)^2$

$\mathbb E(x)=P(Y^T=1)+wP(Y^T=w)$

Что же насчет $\mathbb E(x^2)$ ?

$\mathbb E(x^2)=\frac{1}{n^2_T}\left[\mathbb E \left[ (\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\})^2\right]+w^2\mathbb E\left[ (\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\})^2\right]+$
$+2w\mathbb E \left[\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\}\right]\right]$

Первые две части можно решить, связав их с биномиальным распределением (мне так кажется), но как вычислить подледнюю часть?

[--mS--]

Выразив одну сумму через другую. Они друг друга дополняют до $|T|$ вроде как?

[Neytrall]

Увы, но нет. Есть же ещё $\sum_{i\in T}I\{Y_i=0\}$

Я думаю, что можно через ковариацию, но пока не вижу как.

[--mS--]

Ну, перемножьте тупо суммы. Произведение индикаторов с одинаковыми игреками нулевое. С разными, наверное, независимы. Матожидание суммы - сумма матожиданий. Ещё проще заменить матожидание "суммы сумм" на $|T|$ матожиданий первого слагаемого первой суммы умножить на вторую:

$$\mathbb E \left[\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\}\right]=|T|\,\mathbb E\left( I\{Y_1=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\} \right)=$$ $$=|T|\,\mathbb E\left( I\{Y_1=1\}\sum_{i\in T,\, i\neq 1}I\{Y_i=w\}\right)=\ldots$$

[Neytrall]

То есть в конце получится:

$\mathbb E \left[\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\}\right]=\mathbb E \left[\sum_{j\in T}\left[I\{Y_j=1\}\sum_{i\ne j\in T}I\{Y_i=w\}\right]\right]=...=n_T(n_T-1)P(Y^T=1)P(Y^T=w)$

Проверьте, пожалуйста.

[--mS--]

Ну да.

[Neytrall]

Спасибо вам за помощь.