Вариация закона больших чисел с квадратом разницы двух с.в.

[raul]

Ребят, такой достаточно неконкретный вопрос. Допустим у нас есть две случайные величины E\xi = \alpha , E\zeta = \beta , обе с ограниченной дисперсией. И собственно вопрос справедливо ли, что $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\xi_i -\zeta_i)^2\rightarrow (\alpha-\beta)^2$ при $n\rightarrow \infty $.
Точнее даже, мне важнее при каких условиях это выполняется, например, если $\xi \rightarrow \zeta$, но это банально. На самом деле у меня более общий случай, вместо сл.величин сл. функции, поэтому буду благодарен за развернутые ответы, чтобы по максимуму разобраться. Заранее благодарю.

[--mS--]

В общем случае это свойство выполняется тогда и только тогда, когда $\mathsf D(\xi-\zeta)=0$.
Если, например, величины $\xi_i$ и $\zeta_i$ независимы, то это выполнено тогда и только тогда, когда обе случайные величины имеют нулевые дисперсии, т.е. постоянны. Никогда больше $\mathsf E(\xi-\zeta)^2$, которое и является пределом (если, конечно, ЗБЧ выполняется), не равняется $(\mathsf E\xi-\mathsf E\zeta)^2.$

Разумеется, исхожу из того, что $\xi_1,\xi_2,\ldots$ - независимы между собой и одинаково распределены с $\xi$, то же самое про $\zeta_i$.

[raul]

Благодарю. А можно я еще Вас немножко помучаю? Если перейти к сл. процессам:
1. $E(F(x,\xi))=f(x)$, $F(x,\xi)$-ограничена;
2. $ \underset{x\rightarrow \infty }{\lim}y(x)\rightarrow \alpha $;
то может $\underset{x\rightarrow \infty }{\lim}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(F(x,\xi_i)-y(x))^2)=(f(x)-\alpha)^2$ выполняться при каких-то ограничениях на $\xi$ или на F?
Cобственно, все написанное не то чтобы конкретная задача, можно вместо функций рассмотреть последовательности, важно чтобы слева была сл. функция, справа ее мат. ожидание, условиями на остальные данные можно варьировать, но требование чтобы F была не случайной очень жесткое для меня, можно без него как-то обойтись? Где-то так вообщем.

[--mS--]

Да как бы там ни было: Вы хотите, чтобы матожидание квадрата равнялось квадрату матожидания. Это означает, что дисперсия нулевая, или что случайные величины - константы.