Кет-вектор сопряженный бра-вектору в дуальном пространстве

[limarodessa]

Доброго времени суток !

Если описаны три связанных квантовой сцепленностью кутрита:

$\vert \Psi \rangle=$$\sqrt{\frac{1}{3}}$$\left ( \vert 021 \rangle + \vert 102 \rangle + \vert 210 \rangle\right )$

как мне описать сопряженный вектор $\langle \Psi \vert$ ?

то есть:

$\langle \Psi \vert =$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\left ( \langle ...\vert + \langle ...\vert + \langle ...\vert \right )$

то есть какие цифры должны стоять на месте троеточий в угловых скобках ?

Спасибо

[Alex-Yu]

limarodessa в сообщении #787555 писал(а):

то есть какие цифры должны стоять на месте троеточий в угловых скобках ?

Такие же. Каждому кет соответсвует свой бра. Т.е. каждое состояние одно, но может описываться двумя математическими объектами. Внутри этих скобок обозначаются состояния.

[limarodessa]

Alex-Yu в сообщении #787558 писал(а):

Такие же. Каждому кет соответсвует свой бра. Т.е. каждое состояние одно, но может описываться двумя математическими объектами. Внутри этих скобок обозначаются состояния.

Спасибо большое.

Однако. У меня есть основания доверять источнику который продемонстрировал мне следующий пример:

описаны три связанных квантовой сцепленностью кутрита:

$\vert \Psi \rangle=$$\sqrt{\frac{1}{3}}$$\left ( \vert 012 \rangle + \vert 120 \rangle + \vert 201 \rangle\right )$

далее:

$\langle \Psi \vert =$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\left ( \langle 210\vert + \langle 021\vert + \langle 102\vert \right )$

Но Вам у меня также нет оснований не доверять. Быть может я не совсем корректно выразил свою мысль в моём вопросе ?

Спасибо

[Munin]

Может быть, состояния кутритов как-то замысловато обозначаются тремя цифрами. По умолчанию ответ Alex-Yu верен. Но я что-то не понимаю, как матрицу $SU(3)$ можно обозначить тремя идущими подряд цифрами, так что тут может быть замысловатость нотации.

-- 11.11.2013 20:32:07 --

http://ru.wikipedia.org/wiki/Кутрит
Нет, никак не вписывается. Alex-Yu прав, ваш источник ошибается.

[limarodessa]

Munin в сообщении #787588 писал(а):

Может быть, состояния кутритов как-то замысловато обозначаются тремя цифрами... я что-то не понимаю, как матрицу $SU(3)$ можно обозначить тремя идущими подряд цифрами...

Может быть ввело в заблуждение то что я не указал знак тензорного произведения ? В квантовой информатике допустима сокращенная запись (как я привел выше). Она эквивалентна детальной записи (аналогично и для сопряженного вектора):

$\vert \Psi \rangle=$$\sqrt{\frac{1}{3}}$$\left ( \vert 0 \rangle \otimes \vert 1 \rangle \otimes \vert 2 \rangle + \vert 1 \rangle \otimes \vert 2 \rangle \otimes \vert 0 \rangle + \vert 2 \rangle \otimes \vert 0 \rangle \otimes \vert 1 \rangle \right )$

Может быть это прояснит ситуацию ?

В данной ситуации то не один кутрит (один описывается по одной цифре а не тремя) а три (как в ГЦХ-триплетах для кубитов) связанных квантовой сцепленностью (факт квантовой сцепленности обозначен тензорным произведением)

[limarodessa]

Munin в сообщении #787588 писал(а):

Может быть, состояния кутритов как-то замысловато обозначаются тремя цифрами... я что-то не понимаю, как матрицу $SU(3)$ можно обозначить тремя идущими подряд цифрами, так что тут может быть замысловатость нотации...

On the SU(3) Parametrization of Qutrits

[Munin]

limarodessa в сообщении #787605 писал(а):

Может быть ввело в заблуждение то что я не указал знак тензорного произведения ? В квантовой информатике допустима сокращенная запись (как я привел выше). Она эквивалентна детальной записи (аналогично и для сопряженного вектора):

$\vert \Psi \rangle=$$\sqrt{\frac{1}{3}}$$\left ( \vert 0 \rangle \otimes \vert 1 \rangle \otimes \vert 2 \rangle + \vert 1 \rangle \otimes \vert 2 \rangle \otimes \vert 0 \rangle + \vert 2 \rangle \otimes \vert 0 \rangle \otimes \vert 1 \rangle \right )$

Может быть это прояснит ситуацию ?

Да, может быть. Потому что по этой нотации получается, что $\langle 2\vert\otimes\langle 1\vert\otimes\langle 0\vert=\langle 012\vert.$ И ваш источник всё ещё ошибается.

[fizeg]

Думаю здесь все определяется традицией в области. Можете в крайнем случае писать например так
$|\psi\rangle_A\otimes|\chi\rangle_B$
и дуальный
$\langle \psi|_A\otimes\langle\chi|_B$

Главное что. Главное, что при свертке состояние для подсистемы A свернется с состоянием для подсистемы A и также для B
$\Bigl(\langle \psi_1|_A\otimes\langle\chi_1|_B\Bigr)\Bigl(|\psi_2\rangle_A\otimes|\chi_2\rangle_B\Bigr)=\langle\psi_1|\psi_2\rangle_A\langle\chi_1|\chi_2\rangle_B$

Если вы уверены, что все поймут, что первое состояние в тензорном произведении бра-векторов соответствует первой подсистеме (или наоборот), то пишите спокойно. Если не уверены, лучше все-таки обозначать какой подсистеме что соответствует

[Munin]

fizeg в сообщении #787707 писал(а):

Можете в крайнем случае писать например так
$|\psi\rangle_A\otimes|\chi\rangle_B$
и дуальный
$\langle \psi|_A\otimes\langle\chi|_B$

Ну, это противоречит принятому использованию бра-кет скобочек: внутренние с внутренними, наружние с наружними.

[fizeg]

Munin
Возможно. В тех местах, что я припоминаю из прочитанного, как правило либо добавляли например индекс подсистемы как это сделал я, либо любезно обозначали состояния для разных подсистем разными буквами, так что ни о какой путанице речи идти не могло. В любом случае это чисто вопрос обозначений, а держать в голове нужно то, что я написал в предыдущем посте.

[limarodessa]

Ket-vector and bra-vector in dual space (for qutrits)

fzero писал(а):

...If try to use this to compute $\langle \Psi \vert \Psi \rangle$ , you'll find zero, which is not possible...

Ув. fizeg а если я буду писать индексы как рекомендуете Вы у меня не получится такого конфуза как мне обрисовали на англоязычном форуме ?

fizeg в сообщении #787707 писал(а):

... лучше все-таки обозначать какой подсистеме что соответствует...

fizeg в сообщении #787747 писал(а):

...Возможно. В тех местах, что я припоминаю из прочитанного, как правило либо добавляли например индекс подсистемы как это сделал я, либо любезно обозначали состояния для разных подсистем разными буквами, так что ни о какой путанице речи идти не могло...

-- Вт ноя 12, 2013 03:22:09 --

Munin в сообщении #787744 писал(а):

...Ну, это противоречит принятому использованию бра-кет скобочек: внутренние с внутренними, наружние с наружними.

Не понял... почему ?

[fizeg]

limarodessa в сообщении #787755 писал(а):

Ув. fizeg а если я буду писать индексы как рекомендуете Вы у меня не получится такого конфуза как мне обрисовали на англоязычном форуме ?

Ну я надеюсь, что читатель в таком случае догадается, что с чем сворачивать. Хотя даже казалось бы умные люди бывает такое вытворяют... Куда индекс ставить вроде стандартного места нет (некоторые например пишут и так $|\psi\rangle^{(1)}$), но думаю, что с большой вероятностью поймут, о чем речь

limarodessa в сообщении #787755 писал(а):

Не понял... почему ?

Имелось в виду, что писать стоит все-таки наоборот
$\Bigl(|\psi\rangle_A\otimes|\chi\rangle_B\Bigr)^\dagger=\langle\chi|_B\otimes\langle\psi|_A$

тогда в такой записи скобка для $A$ "собирается сама"
$\langle\chi|_B\otimes\langle\psi|_A\ |\psi\rangle_A\otimes|\chi\rangle_B=\langle\chi|_B\langle\psi|\psi\rangle_A|\chi\rangle_B$

[limarodessa]

На всякий случай спрошу:

нотация

$\left ( \vert 0 \rangle \otimes \vert 1 \rangle \right)$ означает, что

$\left ( \vert 0 \rangle \otimes \vert 1 \rangle \right)$ $= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ $ \otimes $ $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$

Понятно что в этом случае две матрицы подвергаются произведению Кронекера - то есть матрицы перемножаются слева направо (левая первый множитель, правая - второй)

А вот в случае нотации

$\left ( \langle 0 \vert \otimes \langle 1 \vert \right)$

при перемножении строк

$\left ( \langle 0 \vert \otimes \langle 1 \vert \right)$ $= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right)$ $ \otimes $ $ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right)$

порядок операций в плане произведения Кронекера остаётся тем же ? - левая матрица-строка - первый множитель а правая матрица-строка - второй ?

[Munin]

Это не произведение Кронекера, а тензорное произведение. Множители расставляются в таком порядке, чтобы выполнялось правило, указанное здесь:

fizeg в сообщении #787777 писал(а):

$\langle\chi|_B\otimes\langle\psi|_A\ |\psi\rangle_A\otimes|\chi\rangle_B=\langle\chi|_B\langle\psi|\psi\rangle_A|\chi\rangle_B$

(для бра-кет-нотации это естественно), или наоборот (для бра-кетов это неестественно, но где-то ещё может применяться).

В принципе, произведение Кронекера аналогично тензорному произведению, но в тензорном мы всё-таки следим за смыслом и порядком индексов, и связать их между собой получается гораздо проще. Кронекер просто был одним из создателей современного тензорного исчисления, и придумал почти то, что надо, но ещё в не столь удобном виде.

Если вам хочется повозиться, запишите честно
$\left(\vert a\rangle\otimes\vert b\rangle\right)=\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\end{array}\right)$
(кстати, не надо разбивать формулу на кусочки, она лучше форматируется, если её окружить долларами только снаружи)
и аналогично для бра-векторов, и перемножив, найдите сами тот правильный порядок, при котором $\langle a\vert$ сворачивается с $\vert a\rangle,$ а $\langle b\vert$ - с $\vert b\rangle.$