Многополюсные числа

[AV_77]

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

и есть вещественная и мнимая части комплексного числа? Замените во второй системе символ 1, на символ i, и увидите. Символом i Эйлер и изобразил единицу из второй системы ради удобства восприятия. Математика от такой замены символа не изменилась.

Это не так. У единицы есть свойство $a \cdot 1 = a$ для любого $a$. У $i$ такого свойства нет. Единица является нейтральным элементом, а $i$ - нет.

[quest2]

venco в сообщении #787174 писал(а):

quest2 в сообщении #786967 писал(а):

Давайте проверим другое равенство

$(-1)*(-1)=-1$

$(-1)*(-1)=-1 \to$
$(-1)*(-1)-(-1)=(-1)-(-1) \to$
$(-1)*(-1)-(1)*(-1)=0 \to$
$((-1)-(1))*(-1)=0 \to$
$(-2)*(-1)=0 \to$
$-2=0 \to$
$-1=1$
Допустимо только при этом условии, т.е. в поле по модулю 2.

Нет, если $(-1)*(-1)=(-1)$, тогда $(1)*(-1)=(1)$, в противном случае, то есть при $(1)*(-1)=(-1)$ не будет сохраняться свойство дистрибутивности умножения по отношению к сложению. И опят-же это только в том случае, если мы одинаково понимаем обозначения. Я понимаю $-1$ не как противоположное $1$, а как число с одним из трех знаков (в данном случае $-$) и модулем 1.

[Urnwestek]

quest2 в сообщении #787210 писал(а):

Нет, если $(-1)*(-1)=(-1)$, тогда $(1)*(-1)=(1)$, в противном случае, то есть при $(1)*(-1)=(-1)$ не будет сохраняться свойство дистрибутивности умножения по отношению к сложению. И опят-же это только в том случае, если мы одинаково понимаем обозначения. Я понимаю $-1$ не как противоположное $1$, а как число с одним из трех знаков (в данном случае $-$) и модулем 1.

Используйте тогда обозначения, например $5i+3j+7k$ для $(+5)+(-3)+(|7)$.
Вам объяснили, что заменой $i \to (1,0)$, $j \to (0,1)$, $k \to (-1,-1)$.
Вы получите аддитивную группу, изоморфную $\mathbb{Z}^2$. О чём ещё хотите погворить? (:

[venco]

quest2 в сообщении #787210 писал(а):

Нет, если $(-1)*(-1)=(-1)$, тогда $(1)*(-1)=(1)$

Тогда у вас опять же либо $-1=1$ (по модулю 2), либо вообще нет единицы.

[Someone]

quest2 в сообщении #787210 писал(а):

И опят-же это только в том случае, если мы одинаково понимаем обозначения. Я понимаю $-1$ не как противоположное $1$, а как число с одним из трех знаков (в данном случае $-$) и модулем 1.

Вас же просили изменить обозначения. Обозначайте свои "полюса" как-нибудь так, чтобы они не путались с числами, знаками арифметических операций и переменными. Например, вместо $+1-2|3$ пишите что-нибудь типа $1p_1+2p_2+3p_3$, где $p_1,p_2,p_3$ — это обозначения полюсов, а "$+$" — обозначение операции сложения. Кстати, тогда не будете путать число "полюсов" с арностью операций.
Пока писал, о том же написал и Urnwestek.

Также не забывайте отвечать на заданные Вам вопросы. Иначе столкнётесь с тем, что в скором времени тема окажется закрытой.

[quest2]

Urnwestek в сообщении #787184 писал(а):

quest2 в сообщении #787180 писал(а):

$a + (-a) = 0$ у меня никогда не выполняется;

Не используйте знак «-» тогда, он сбивает с толку.

Вам, Xaositect указал, что вы определили просто напросто пары целых чисел с покоординатным сложением, с некоторыми переименованиями. Этим самым придуманная вами структура исчерпывается полностью.

Насчет необходимости других обозначений единиц, согласен. Эти путают.
Насчет пары чисел (почему целых?) с покоординатным сложением - об этом мне нужно подумать, дайте время.

-- 10.11.2013, 21:35 --

Xaositect в сообщении #787192 писал(а):

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

Замените во второй системе символ 1, на символ i, и увидите.

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

$(-1)*(-1)=-1$
$(+1)*(+1)=-1$
$(+1)*(-1)=1$ , нейтральный элемент $-1$

Заменяю: $(-i)(-i) = -i$, $(+i)(+i) = -i$, $(+i)(-i) = i$. Неверно.

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

и есть вещественная и мнимая части комплексного числа? Замените во второй системе символ 1, на символ i, и увидите. Символом i Эйлер и изобразил единицу из второй системы ради удобства восприятия. Математика от такой замены символа не изменилась.

Мнимая ось сама по себе как числовая система рассматриваться не может, потому что произведение двух мнимых чисел всегда действительно.

Да, Вы правы. Не все символы 1, заменяются у Эйлера на i, а только из левой части. Значит не удастся мне прикрытся авторитетом комплексных чисел в этом вопросе. Придется аргументировать в одиночку.

-- 10.11.2013, 21:38 --

AV_77 в сообщении #787197 писал(а):

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

и есть вещественная и мнимая части комплексного числа? Замените во второй системе символ 1, на символ i, и увидите. Символом i Эйлер и изобразил единицу из второй системы ради удобства восприятия. Математика от такой замены символа не изменилась.

Это не так. У единицы есть свойство $a \cdot 1 = a$ для любого $a$. У $i$ такого свойства нет. Единица является нейтральным элементом, а $i$ - нет.

Да, спасибо, я уже понял, $i$ это из другой оперы.

-- 10.11.2013, 21:43 --

Urnwestek в сообщении #787216 писал(а):

quest2 в сообщении #787210 писал(а):

Нет, если $(-1)*(-1)=(-1)$, тогда $(1)*(-1)=(1)$, в противном случае, то есть при $(1)*(-1)=(-1)$ не будет сохраняться свойство дистрибутивности умножения по отношению к сложению. И опят-же это только в том случае, если мы одинаково понимаем обозначения. Я понимаю $-1$ не как противоположное $1$, а как число с одним из трех знаков (в данном случае $-$) и модулем 1.

Используйте тогда обозначения, например $5i+3j+7k$ для $(+5)+(-3)+(|7)$.
Вам объяснили, что заменой $i \to (1,0)$, $j \to (0,1)$, $k \to (-1,-1)$.
Вы получите аддитивную группу, изоморфную $\mathbb{Z}^2$. О чём ещё хотите погворить? (:

Обозначения неудачные, согласен.
По второму вопросу мне нужно время, чтобы осознать.

-- 10.11.2013, 21:49 --

Someone в сообщении #787222 писал(а):

quest2 в сообщении #787210 писал(а):

И опят-же это только в том случае, если мы одинаково понимаем обозначения. Я понимаю $-1$ не как противоположное $1$, а как число с одним из трех знаков (в данном случае $-$) и модулем 1.

Вас же просили изменить обозначения. Обозначайте свои "полюса" как-нибудь так, чтобы они не путались с числами, знаками арифметических операций и переменными. Например, вместо $+1-2|3$ пишите что-нибудь типа $1p_1+2p_2+3p_3$, где $p_1,p_2,p_3$ — это обозначения полюсов, а "$+$" — обозначение операции сложения. Кстати, тогда не будете путать число "полюсов" с арностью операций.
Пока писал, о том же написал и Urnwestek.

Также не забывайте отвечать на заданные Вам вопросы. Иначе столкнётесь с тем, что в скором времени тема окажется закрытой.

Поймите правильно, я не успеваю отвечать быстро, но всем отвечу. Сложные вопросы требуют больше времени на осмысление.

-- 10.11.2013, 21:51 --

venco в сообщении #787220 писал(а):

quest2 в сообщении #787210 писал(а):

Нет, если $(-1)*(-1)=(-1)$, тогда $(1)*(-1)=(1)$

Тогда у вас опять же либо $-1=1$ (по модулю 2), либо вообще нет единицы.

А можно это расписать поподробнее?

-- 10.11.2013, 22:22 --

Xaositect, Вы писали:
"Предлагаю в честь цветов, $1^R, 1^G$ и $1^B$.
Аддитивная группа получается изоморфна $\mathbb{Z}^2$ с помощью $1^R\mapsto (1, 0)$, $1^G\mapsto (0,1)$, $1^B\mapsto (-1, -1)$"

Да, верно, изоморфна. Но это одна из алгебр.

На множестве многополюсных чисел существует множество способов определения операции суммирования. Вопрос к знающим: очевидно ли, что все эти алгебраические системы будут иметь подобные изоморфизмы с алгебраическими системами с множествами целых, вещественных или комплексных чисел?

[quest2]

Someone в сообщении #787167 писал(а):

quest2 в сообщении #787129 писал(а):

Во-первых на множестве многополюсных чисел можно определять операции со значительно большею свободой, чем над множеством вещественных чисел.

На множестве действительных чисел операции определять не надо, они там уже определены. Если Вы определите другие операции, это не будет множеством действительных чисел.

А у Вас хотя бы кольцо получается?

Но это всё ерунда, таких "операций" можно напридумывать тьму.
Вы лучше объясните, зачем это вообще нужно. Продемонстрируйте нам содержательную задачу, которую можно было бы решить с помощью "многополюсных чисел" и нельзя было бы решить с помощью обычных чисел (действительных, комплексных и т.д.; у математиков всяких чисел много). Или хотя бы задачу, которую можно было бы решить вашим методом намного проще, чем обычными методами.

quest2 в сообщении #787116 писал(а):

В моем комментарии под стартовой темой рассмотрен пример трехполюсных чисел. Для них сумма тернарная операция. Но потому как она сохраняет свойство ассоциативности, то может быть заменена произвольной последовательностью бинарных операций суммирования.

То есть, тернарная операция совершенно не по существу, и о ней можно забыть. Для действительных чисел ведь тоже можно определить "тернарную операцию" $S(a,b,c)=a+b+c$. Только никто этого не делает, потому что она выражается через бинарную операцию.

quest2 в сообщении #785893 писал(а):

Действие суммирования над двухполюсными числами остается таким-же как и в традиционной алгебре, а вот действие умножения становится не определенным однозначно, и имеет до двух численных вариантов решения.

То есть, умножения как алгебраической операции нет. Или Вы плохо выразились? Уточните.

Но главный вопрос — зачем это нужно? Введение новых понятий в математике всегда оправдывается их применением к решению каких-то задач.

Вы просто не знаете, о чём говорите. В математике есть гораздо более полезный аппарат для решения задач физики, чем высосанные из пальца "многополюсные числа".

Одно кольцо получилось, но оказалось изоморфно алгебраической системе и без многополюсных чисел.

Нынче, чтобы продемонстрировать содержательную задачу, которую решить проще, с использованием новых чисел, чем уже имеющихся нужно, к примеру, иметь возможность участвовать в разработке детекторов андронного ускорителя.

Любые мультиарные операции не сводящиеся к последовательности бинарных будут лишены свойства ассоциативности и соответственно не смогут отражать законов сохранения тех или иных величин. Это конечно не уничтожающее обстоятельство в плане перспектив использования таких систем счета, но очень ограничивающее.

Если результат операции умножения не однозначен по знаку это еще не значит, что такой операции не существует. Иначе не существует умножения и над множеством вещественных чисел. Просто второй вариант результата этого умножения научное сообщество условилось не брать в расчет.

Можно ссылку на "гораздо более полезный аппарат для решения задач физики, чем высосанные из пальца "многополюсные числа"?

-- 10.11.2013, 22:49 --

Someone в сообщении #787222 писал(а):

quest2 в сообщении #787210 писал(а):

И опят-же это только в том случае, если мы одинаково понимаем обозначения. Я понимаю $-1$ не как противоположное $1$, а как число с одним из трех знаков (в данном случае $-$) и модулем 1.

Вас же просили изменить обозначения. Обозначайте свои "полюса" как-нибудь так, чтобы они не путались с числами, знаками арифметических операций и переменными. Например, вместо $+1-2|3$ пишите что-нибудь типа $1p_1+2p_2+3p_3$, где $p_1,p_2,p_3$ — это обозначения полюсов, а "$+$" — обозначение операции сложения. Кстати, тогда не будете путать число "полюсов" с арностью операций.
Пока писал, о том же написал и Urnwestek.

Также не забывайте отвечать на заданные Вам вопросы. Иначе столкнётесь с тем, что в скором времени тема окажется закрытой.

Да, конечно. Сейчас дискуссия приостановилась, и меня есть возможность переформулирвать тему в иных обозначениях. Я непременно сделаю это. По поводу не обязательного совпадения числа полюсов в множестве чисел и арности операций над ними ясно, учел.

[AV_77]

quest2 в сообщении #787282 писал(а):

Если результат операции умножения не однозначен по знаку эту еще не значит, что такой операции не существует. Иначе не существует умножения и над множеством вещественных чисел. Просто второй вариант результата этого умножения научное сообщество условилось не брать в расчет.

Может хватит уже со "вторым результатом"? Ну глупость ведь.

[Urnwestek]

Так у вас нету никаких чисел ещё, те, что были, оказались не очень интересные, как мы выяснили в ходе дискуссии.

По-поводу остального, скажу, что лучше не говорить в утвердительной форме о том, о чём вы не имеете понятия, во-первых это не очень-то красиво, а во-вторых тут могут это классифицировать как пропаганду лженауки и того, банхаммером...

Вы не знаете каким образом разрабатываются детекторы адронного ускорителя.
Умножение вещественных чисел определено однозначно. Просто по определению умножения.

[quest2]

AV_77 в сообщении #787290 писал(а):

quest2 в сообщении #787282 писал(а):

Если результат операции умножения не однозначен по знаку эту еще не значит, что такой операции не существует. Иначе не существует умножения и над множеством вещественных чисел. Просто второй вариант результата этого умножения научное сообщество условилось не брать в расчет.

Может хватит уже со "вторым результатом"? Ну глупость ведь.

Направление вектора, являющегося результатом векторного произведения двух других векторов научное сообщество условилось считать определенным, верно? Боюсь даже, что-либо говорить про вектор направленный противоположно. Наверное правильно сказать так: его условились не считать результатом операции векторного умножения.

[Urnwestek]

quest2 в сообщении #787307 писал(а):

Направление вектора, являющегося результатом векторного произведения двух других векторов научное сообщество условилось считать определенным, верно?

Ну, по мне так куда более странной была бы ситуация, если бы его условились считать неопределенным. (:

[provincialka]

Не то. Для векторного произведения все равно, какое направление выбрать. Структура получится такая же. А в вашем предложении получаются "плохие" свойства.
Вам бы надо почитать о понятии "изоморфизм"

[quest2]

Urnwestek в сообщении #787292 писал(а):

Так у вас нету никаких чисел ещё, те, что были, оказались не очень интересные, как мы выяснили в ходе дискуссии.

По-поводу остального, скажу, что лучше не говорить в утвердительной форме о том, о чём вы не имеете понятия, во-первых это не очень-то красиво, а во-вторых тут могут это классифицировать как пропаганду лженауки и того, банхаммером...

Вы не знаете каким образом разрабатываются детекторы адронного ускорителя.
Умножение вещественных чисел определено однозначно. Просто по определению умножения.

Вы вправе попросить модератора закрыть эту тему. Но я бы Вас попросил этого не делать. Во-первых потому, что не получил ответа на один из вопросов, заданных форумчанам уже в ходе дискуссии. А во-вторых потому, что обещал троим из них переформулировать тему в новых обозначениях. Так-же переформулируя ее, я собираюсь учесть все то ценное, что вынес из дискуссии. Единственное, что мне непонятно, это как однозначно ввести произведение хотя-бы для $\mathbb{Z}^2$ с помощью $1^R\mapsto (1, 0)$, $1^G\mapsto (0,1)$, $1^B\mapsto (-1, -1)$?

-- 10.11.2013, 23:31 --

provincialka в сообщении #787314 писал(а):

Не то. Для векторного произведения все равно, какое направление выбрать. Структура получится такая же. А в вашем предложении получаются "плохие" свойства.
Вам бы надо почитать о понятии "изоморфизм"

Для меня как больше физика, чем математика, не все-равно.

[Urnwestek]

quest2 в сообщении #787315 писал(а):

Но я бы Вас попросил этого не делать.

Я ни на что не намекал и ничего просить не собираюсь, они, обычно, без спросу приходят. (:

quest2 в сообщении #787315 писал(а):

Единственное, что мне непонятно, это как однозначно ввести произведение хотя-бы для $\mathbb{Z}^2$ с помощью $1^R\mapsto (1, 0)$, $1^G\mapsto (0,1)$, $1^B\mapsto (-1, -1)$?

Ну, самый тривиальный способ, это $(a,b) \cdot (c,d) = (a \cdot c, b \cdot d)$, если вы о том; а так, конечно, как хотите так и вводите, главное следить, чтобы всё цивильно получалось, чтобы коммутативность ассоциативность и всякое такое наличествовали.

Только не очень понятен ваш всё ещё не погасший интерес к «многополюсовым» числам после того, как вы узнали, что они $\mathbb{Z}^2$. Ведь $\mathbb{Z}^2$ очень скучная штука... (:

[Xaositect]

quest2 в сообщении #787233 писал(а):

Xaositect, Вы писали:
"Предлагаю в честь цветов, $1^R, 1^G$ и $1^B$.
Аддитивная группа получается изоморфна $\mathbb{Z}^2$ с помощью $1^R\mapsto (1, 0)$, $1^G\mapsto (0,1)$, $1^B\mapsto (-1, -1)$"

Да, верно, изоморфна. Но это одна из алгебр.

На множестве многополюсных чисел существует множество способов определения операции суммирования. Вопрос к знающим: очевидно ли, что все эти алгебраические системы будут иметь подобные изоморфизмы с алгебраическими системами с множествами целых, вещественных или комплексных чисел?

Есть разные теоремы о классификации алгебраических структур.
Например, если есть счетное множество, на котором есть коммутативное ассоциативное сложение и элементы которого можно умножать на неотрицательные рациональные числа, причем это умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, то по сложению оно разложится на рациональные и неотрицательные рациональные числа. Подойдет?

-- Вс ноя 10, 2013 23:43:31 --

quest2 в сообщении #787315 писал(а):

Вы вправе попросить модератора закрыть эту тему. Но я бы Вас попросил этого не делать. Во-первых потому, что не получил ответа на один из вопросов, заданных форумчанам уже в ходе дискуссии. А во-вторых потому, что обещал троим из них переформулировать тему в новых обозначениях. Так-же переформулируя ее, я собираюсь учесть все то ценное, что вынес из дискуссии. Единственное, что мне непонятно, это как однозначно ввести произведение хотя-бы для $\mathbb{Z}^2$ с помощью $1^R\mapsto (1, 0)$, $1^G\mapsto (0,1)$, $1^B\mapsto (-1, -1)$?

А умножение неоднозначно вводится. Но если вариантов не так много - это либо покомпонентное умножение (две независимых копии $\mathbb{Z}$), либо $\mathbb{Z}[x]/\left<x^2\right>$, т.е. есть единица и есть элемент $x$ такой, что $x^2 = 0$, либо подобие (гауссовых) комплексных чисел, только $i^2$ не обязательно $-1$, а может быть любым неквадратом.