Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)

[forexx]

Так Вам нужно ведь подобрать константы $a$,$b$,$R$.

[Urnwestek]

forexx в сообщении #787243 писал(а):

Так Вам нужно ведь подобрать константы $a$,$b$,$R$.

Это-то верно, подставить и проверить можно. Но сама формулировка задания намекает на то, что ответ предполагается как-то вывести из каких-то соображений, а уже потом проверить, что ответ (радиус соприкасающейся окружности) совпал с радиусом кривизны. Хотелось бы всё «по-честному» сделать.

[Urnwestek]

Вроде доказал: положим $n=(x_0-a,y_0-b)$. Пусть $(u(t),v(t))$ — какая-то параметризация окружности, отсюда:
$(u-a)^2 + (v-b)^2 = r^2$
$\dot{u}(u-a) + \dot{v}(v-b) = 0$
$\ddot{u}(u-a) + \ddot{v}(v-b) + \dot{u}^2 + \dot{v}^2 = 0$

Последние два равенства получены последовательным дифференцированием. Из того, что $(x(t),y(t))$ должна иметь второй порядок касания с $(u(t),v(t))$ следует, что их производные (нулевая, первая и вторая) равны в точке $x_0,y_0$, отсюда получаем:

$(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2$
$\dot{x_0}(x_0-a) + \dot{y_0}(y_0-b) = 0$
$\ddot{x_0}(x_0-a) + \ddot{y_0}(y_0-b) + \dot{x_0}^2 + \dot{y_0}^2 = 0$

Перепишем в векторном виде:
$|n|^2 = r^2$
$(v,n) = 0$
$(a,n) + |v|^2 = 0$

Разложим в третьем равенстве ускорение на тангенциальное и нормальное:
$(a_n,n) + (a_\tau,n) = -|v|^2$
Из того, что $v$ коллениарно $a_\tau$ а также из второго равенства заключаем, что $(a_\tau,n)=0$ итого приходим:

$|n| = |r| $
$(v,n) = 0$
$(a_n,n) = -|v|^2$

Из системы видно, что решение единственное (вектор n перпендикулярен касательной и должен быть длиннее вектора нормального ускорения во вполне определённое число раз, то есть, однозначно определены аргумент и модуль), а из второго уравнения решение просто подобрать: $n=\frac{-|v|^2 a_n}{(a_n,a_n)}$ или, что тоже самое
$n = \frac{-|v|^2 a_n}{|a_n|^2}$ отсюда центр кривизны — это $(x_0,y_0) - n$, а радиус кривизны: это $|n| = \frac{|v|^2 |a_n|}{|a_n|^2} = \frac{|v|^2}{|a_n|}$.

-- 10.11.2013, 23:14 --

Прошу помощи с последним, пунктом:
g)
Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля. Уравнение профиля $x+y^2=1$, где $x \geqslant 0, y \geqslant 0$. Рассчитайте траекторию движения частицы.
Как я понимаю, скорость и ускорение можно вывести из закона сохранения энергии. А затем считать, как-будто точка в каждый момент времени скатывается со соприкасающейся окружности и из формулы центра кривизны вывести координату, так?