Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)

[Urnwestek]

Пусть некоторая точка движется в плоскости по закону, задаваемому парой дважды дифференцируемых координатных функций $x(t)$, $y(t)$ от времени. Мы хотим указать число, характеризующее кривизну кривой в некоторой точке, подобно тому, как величина, обратная радиусу окружности, может служить показателем искривленности окружности.

а) Найдите тангенциальную $a_t$ и нормальную $a_n$ cоставляющую вектора $a = (\ddot{x}(t),\ddot{y}(t))$, ускорения точки, т.е. представить $a$ в виде суммы $a_t + a_n$, где вектор $a_t$ коллинеарен вектору $v(t) = (\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ скорости, т.е. направлен по касательной к траектории, а вектор $a_n$ направлен по нормали к траектории
б) Покажите, что при движении по окружности радиуса $r$ имеет место соотношение $r = \frac{|v(t)|}{|a_n(t)|}$.

a)
Помня, что косинус между двумя векторами — это скалярное произведение делённое на модули векторов, получаем:
$a_t = |a| \frac{(a,v)}{|a||v|} \frac{v}{|v|}$
$a_n = |a| \frac{(a,v_n)}{|a||v|} \frac{v_n}{|v|}$
Где $v_n = (-\dot{y}(t),\dot{x}(t))$.
б)
Но вот тут уже непонятки, казалось бы, при равномерном движении по окружности тангенциальная составляющая ускорения должна быть равна нулю, то нормальная составляющая должна быть равна самому ускорению а так как
$r(t) = (r\cos{\omega t},r\sin{\omega t})$
$v(t) = (-r\omega\sin{\omega t},r\omega\cos{\omega t})$
$a(t) = (-r\omega^2 \cos{\omega t},-r\omega^2 \sin{\omega t})$

Получаем $\frac{|v(t)|}{|a(t)|} = \frac{ \sqrt{r^2\omega^2 \sin^2(\omega t) + r^2\omega^2\cos^2(\omega t)}}{ \sqrt{r^2\omega^4\cos^2(\omega t) + r^2\omega^4\sin^2(\omega t)}} = \frac{r\omega}{r\omega^2} = \frac{1}{\omega}$ а вовсе не $r$. Где ошибка?

[ewert]

Urnwestek в сообщении #786644 писал(а):

Где ошибка?

В условии. $r = \frac{|v(t)|}{|a_n(t)|}$ не может быть потому, что этого не может быть никогда (по соображениям размерности).

[Urnwestek]

ewert в сообщении #786662 писал(а):

В условии. $r = \frac{|v(t)|}{|a_n(t)|}$ не может быть потому, что этого не может быть никогда (по соображениям размерности).

Спасибо, это уже четвёртая опечатка, на которую указали участники форума в упражнениях Зорича. Собрать ещё пару — и можно будет послать письмо в редакцию. (: А вы не знаете, как должна выглядеть формула радиуса кривизны? Потому что в пункте c), эта же форумла (которая $r = \frac{|v(t)|}{|a_n(t)|}$) принимается за определение радиуса кривизны. Может там квадрат в числителе нужен?

[ewert]

Urnwestek в сообщении #786666 писал(а):

в пункте c), эта же форумла (которая $r = \frac{|v(t)|}{|a_n(t)|}$) принимается за определение радиуса кривизны. Может там квадрат в числителе нужен?

Она ровно по определению и есть (хотя смотря что считать формальным определением). Да, квадрат нужен. Во всяком случае, в школе учат именно так.

[_Ivana]

Urnwestek, а вы выведите сами формулу, без оглядок на опечатки учебника.

[Urnwestek]

ewert в сообщении #786670 писал(а):

Она ровно по определению и есть (хотя смотря что считать формальным определением). Да, квадрат нужен. Во всяком случае, в школе учат именно так.

Спасибо.

_Ivana в сообщении #786672 писал(а):

Urnwestek, а вы выведите сами формулу, без оглядок на опечатки учебника.

Нет, то что, $r = \frac{v^2}{a}$ при равномерном движении по окружности я понимаю. Просто же дело в том, что $r$ можно многими способами выразить, (например $|r(t)| = r$), но когда мы даём определение радиусу кривизны в общем случае, то все формулы для $r$ которые работали в случае равномерного движения по окружности будут неэквивалентны в случае равномерного движения по любой кривой. И поэтому задача "вывести самому определение" звучит, как минимум, странно. Но теперь уже всё понятно.

[_Ivana]

Urnwestek в сообщении #786673 писал(а):

И поэтому задача "вывести самому определение" звучит, как минимум, странно.

А вы так странно задачу и не ставьте. А сделайте честно ваш пункт б.

[ewert]

Urnwestek в сообщении #786673 писал(а):

И поэтому задача "вывести самому определение" звучит, как минимум, странно.

Там пафос, скорее всего, вот в чём. В школе учат в основном центростремительному ускорению при равномерном движении по окружности. А от Вас требуют, видимо, доказать, что ровно то же значение ускорения выйдет и при движении тоже по окружности, но произвольном. После этого, действительно, при желании уже можно будет принять эту формулу за определение радиуса произвольной кривой. А до этого таких оснований нет.

(насколько помню, разделение ускорений вообще на нормальные и тангенциальные в стандартную школьную программу не входит)

[Urnwestek]

_Ivana в сообщении #786674 писал(а):

А вы так странно задачу и не ставьте. А сделайте честно ваш пункт б.

Ну, формально говоря, честно сделать его не получится, так как задача стоит "проверьте что <неправильное утверждение>". (: Я же говорю, что с пунктом б мне уже всё понятно, благодаря участникам форума. Просто пункт c) начинается так:
c)
При движении по любой кривой, учитывая b), величину:
$r(t) = \frac{|v(t)|}{|a_n(t)|}$
естественно называть "радиусом кривизны".

И тут на ум приходит три варианта:
1) Они ошиблись в b) и, соответственно, ошиблись в c), т.е. определение должно выглядеть как $r(t) = \frac{|v(t)|^2}{|a_n(t)|}$.
2) Они ошиблись в b) но в c) определение верное (т.е. общепринятое).
3) Они ошиблись в b) и, соответственно ошиблись в c), но ошиблись не только в том, что не навесили квадрат на скорость, а и в том, что рассматривали лишь нормальное ускорение, т.е. определение должно выглядеть как $r(t) = \frac{|v(t)|^2}{|a(t)|}$ (к примеру)

И вроде как понятно, что вариант 1) наиболее естественный, но чтобы лишний раз не гадать я решил переспросить. Ещё раз: я не спорю что радиус окружности это $r=\frac{v^2}{a}$ и мне в этих двух пунктах теперь всё понятно, так что вопрос, кажется, исчерпан.

ewert в сообщении #786675 писал(а):

А от Вас требуют, видимо, доказать, что ровно то же значение ускорения выйдет и при движении тоже по окружности, но произвольном.

Тут ведь достаточно будет считать $\omega = \omega(t)$, чтобы сделать движение произвольным? Если так, то всё, вроде как, так и остаётся.

[_Ivana]

Urnwestek в сообщении #786688 писал(а):

Я же говорю, что с пунктом б мне уже всё понятно. .....
Если так, то всё, вроде как, так и остаётся.

А по моим заблуждениям, в случае неравномерного движения это неверно. Хотя, если вам уже 2 раза все понятно, то не настаиваю.

[Urnwestek]

_Ivana в сообщении #786698 писал(а):

Хотя, если вам уже 2 раза все понятно, то не настаиваю.

Нет, вы только не подумайте что я на чём-то настаиваю. Если есть ошибки в моих решениях, то я буду благодарен, если вы мне на них укажете. Неверно, что $r = \frac{|v(t)|^2}{|a_n(t)|}$? Но почему?

[_Ivana]

Я со своей стороны подставил в уравнения движения по окружности в качестве аргумента синусов/косинусов произвольную функцию времени, продифференцировал пару раз покомпонентно, взял модули, и данное выражение для радиуса у меня получилось только при условии равенства нулю второй производной аргумента синусов по времени, то есть при их линейной зависимости. Но я тоже мог ошибиться. Да и в учебнике могли иметь в виду все-таки равномерное движение.

[Urnwestek]

Цитата:

и данное выражение для радиуса у меня получилось только при условии равенства нулю второй производной аргумента синусов по времени

Из:

Urnwestek в сообщении #786644 писал(а):

$a_n = |a| \frac{(a,v_n)}{|a||v|} \frac{v_n}{|v|}$

получаем:
$\frac{|v|^2}{|a_n|}= \frac{|v|^3}{|(a,v_n)|} = \frac{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{|\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}|}$

продифференцируем
$r(t) = (r\cos{\omega t},r\sin{\omega t})$
$v(t) = (-r\dot{\omega}\sin{\omega t},r\dot{\omega}\cos{\omega t})$
$a(t) = (-r(\dot{\omega}^2\cos{\omega t} + \ddot{\omega}\sin{\omega t}),-r(\dot{\omega}^2\sin{\omega t} - \ddot{\omega}\cos{\omega t}) )$

Подставим:
$ |\frac{ r^3\dot{\omega}^3}{r^2\dot{\omega}\sin{\omega t}(\dot{\omega}^2\sin{\omega t} - \ddot{\omega}\cos{\omega t}) + r^2\dot{\omega}\cos{\omega t}(\dot{\omega}^2 \cos{\omega t} + \ddot{\omega}\sin{\omega t})}|$
$ |\frac{ r\dot{\omega}^2}{\sin{\omega t}(\dot{\omega}^2\sin{\omega t} - \ddot{\omega}\cos{\omega t}) + \cos{\omega t}(\dot{\omega}^2 \cos{\omega t} + \ddot{\omega}\sin{\omega t})}|$
$ |\frac{ r\dot{\omega}^2}{\dot{\omega}^2(\sin^2{\omega t} +\cos^2{\omega t}) + \ddot{\omega}(-\sin\omega t \cos\omega t + \sin\omega t \cos \omega t)}|$
$|r|$

Разве не так?

[ewert]

Urnwestek в сообщении #786733 писал(а):

Разве не так?

Не так. Вы добросовестно пытаетесь дифференцировать омегу, но почему-то напрочь забываете продифференцировать само время. В принципе, это правильно: омега (если движение неравномерное) входит в описание совсем не так, и тогда какая разница, что и как дифференцировать -- ничего разумного всё равно не выйдет.

Не надо никаких омег. Введите произвольную зависимость угла от времени. После двукратного дифференцирования вектор ускорения совершенно явственно разобьётся на два слагаемых, одно из которых откровенно перпендикулярно радиус-вектору, а второе -- не менее откровенно параллельно. Чего и достаточно.

-- Сб ноя 09, 2013 21:25:53 --

_Ivana в сообщении #786706 писал(а):

Но я тоже мог ошибиться.

Ну Вы просто где-то заблудились. Возможно, из-за ненужной попытки взять модули. Модуль в данном случае --это Сусанин.

[_Ivana]

Все правильно. Про омегу надо забыть, а вместо произведения ее на время взять произвольную функцию времени. А я в своих расчетах брал полный модуль ускорения, и сперва не увидел откровенность его разложения на параллельную и перпендикулярную составляющие.