О классификации замкнутых многообразий

[bayak]

В нижеприведённом отрывке из работы "Параллелепипеды в алгебре и топологии" представлена попытка классификации многообразий посредством классификации соответствующих графов. Под клеточными многообразиями там понимаются многообразия, составленные из клеток (кубиков), склеенных по границам клеток.

Цитата:

Пусть каркасом замкнутого $m$-мерного клеточного многообразия называется граф, полученный в результате раскраски $m$-мерного многообразия $2^{m}$ цветами краски. Если для раскраски многообразия не хватает араллелепипедов, то они добавляются гомеоморфным присоединением. Раскраска начинается с собранного в одну точку пересечения пучка из $2^{m}$ параллелепипедов, которые затем окрашиваются в различные цвета. Далее параллелепипеды окрашиваются в произвольные цвета, но с таким условием, чтобы цвет окрашиваемого параллелепипеда соападал с цветом одного из соседних с ним. Вершины каркаса формируется как точки пересечения $2^{m}$ параллелепипедов различного цвета, а ребра каркаса образуются в результате пресечения $2^{m-1}$ параллелепипедов различного цвета.

В каркасе $m$-мерного замкнутого клеточного многообразия может быть произвольное число вершин, но из соображений симметрии следует, что в каждой вершине должен быть собран набор из $m$ пар ребер. При этом, если в каркасе четное число вершин, то это каркас ориентируемого клеточного многообразия, а если нечетное, то --- неориентируемого.

Рассмотрим теперь вопрос о классификации каркасов ориентируемых замкнутых клеточных многообразий, которые для краткости будем называть $c$--каркасами. Если мы разобьем пары ребер $c$--каркаса $n$-мерного многообразия на $n$ классов и заменим эти пары одиночными ребрами, то увидим, что классификация $c$--каркасов эквивалентна классификации неориентированных графов без петель, у которых все ребра разбтиы на $n$ классов а каждой вершине инцендентны $n$ смежных ребер, принадлежащих различным классам. Сформируем теперь элементарный $c$--каркас, соответствующий простейшему графу. Для этого, мы произвольным образом разложим $n$ в сумму $n_{1}+\cdots +n_{m}=n$, где $1\leq m \leq n$, и построим $2^{m}$--вершинный граф, изоморфный $m$--параллелепипеду с ребрами кратности $n_{i}$, т. е. такой граф, вершины которого совпадают с вершинами $m$--параллелепипеда а всякие $n_{i}$ его кратных ребер соответствуют каждому ребру параллелепипеда из соответствующего класса его параллельных ребер. Тогда, поскольку у $m$--параллелепипеда $m 2^{m-1}$ ребер, то с учетом их кратности мы получим $n 2^{m-1}$ ребер графа или $n 2^{m-1}$ пар ребер соответствующего $c$--каркаса. Элементарный $c$--каркас, соответствующий разложению $n_{1},\ldots, n_{m}$ мы обозначим символом $S^{n_{1}} \times\cdots \times S^{n_{m}}$ и заметим, что из двух произвольных элементарных $c$--каркасов можно составить новый $c$--каркас $S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{m}}+S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{l}}$, которому соответствует граф, полученный из двух простейших графов путем разрыва ребер в одной произвольной вершине каждого из них и последующего совмещения соответствующих ребер двух этих графов. Однако, если $l=1$, то мы получим исключение, так как в этом случае $S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{m}}+S^{n}=S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{m}}$. Таким образом, мы получили полную классификацию $c$--каркасов, которая полностью определяется свободной абелевой группой с элементарными $c$--каркасами (кроме $S^{n}$) в качестве образующих и каркасом $S^{n}$ в качестве нулевого элемента.

[Munin]

Почитайте про симплектическую топологию.
"Всё уже украдено до вас."
Например, Прасолов, Элементы дифференциальной и комбинаторной топологии.

[bayak]

Munin в сообщении #786470 писал(а):

Почитайте про симплектическую топологию.

Это та, которая происходит от симплектической структуры, или имелась в виду та топология, которая пляшет от симплексов?

Munin в сообщении #786470 писал(а):

"Всё уже украдено до вас."
Например, Прасолов, Элементы дифференциальной и комбинаторной топологии.

Укажите, пожалуйста, это место (где украдено) поточнее.

[Munin]

bayak в сообщении #786622 писал(а):

Это та, которая происходит от симплектической структуры, или имелась в виду та топология, которая пляшет от симплексов?

Второе.

На самом деле, быстро выясняется, что от чего бы топология ни плясала, получается одно и то же: и из симплексов, и из гладких многообразий, и из каких-то более замысловатых конструкций.

bayak в сообщении #786622 писал(а):

Укажите, пожалуйста, это место (где украдено) поточнее.

Глава 3.

Книгу я написал по памяти. И перепутал порядок слов :-)
Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. МЦНМО, 2004.

[bayak]

Munin в сообщении #786727 писал(а):

Глава 3.

Спасибо, конечно, за уточнение, но глава это не страница, а мне хотелось бы всё же знать откуда я украл понятие каркаса клеточного многообразия.

[Munin]

А я сказал, что вы украли?
Вы явно свой велосипед придумываете. Может быть, отличающийся деталями от существующих. Но всё равно велосипед.

[bayak]

Munin в сообщении #786854 писал(а):

Вы явно свой велосипед придумываете. Может быть, отличающийся деталями от существующих. Но всё равно велосипед.

Верно, в моём велосипеде квадратные (кубические) колёса, а у классического велосипеда они треугольные (симплексные). Но не я этот велосипед изобретал, клеточные пространства в топологии применялись и до меня. Я претендую всего лишь на то, что поместил выше (в стартовом посте) в виде отрывка из статьи "О параллелепипедах в алгебре и топологии". Впрочем, лучше прочтите оригинал статьи.

[v_r]

Кажется, в цитате, с которой начинается обсуждение, описывается что-то в духе эквивалентности категорий клеточных пространств и цепных (симплициальных) комплексов, удобное соображение, которое классификацию нисколечки не упрощает . Чисто алгебраически-комбинаторные данные -- симплициальный комплекс -- описать, изучить и классифицировать не сильно проще, чем достаточно хорошие топологические пространства.

Кроме того, к классификации именно многообразий это не имеет никакого отношения, потому что нетриангулируемые многообразия встречаются уже в размерности 4.

См. например:
https://en.wikipedia.org/wiki/E8_manifold