Ряд Тейлора для функции нескольких переменных

[Osmium]

Дана функция $f(x,y)=\frac {x} {1-x^2y^3}$
Найти $f_{x^9y^12}^{(21)} - ?$
Для начала нужно разложить функцию в ряд Тейлора, а вот как это сделать, я не совсем понимаю. Для одной переменной всё не так сложно.
В Вольфраме я смог разложить в ряд, но надо ведь понять "Как это делается". Помогите пожалуйста.

[mihailm]

Например, пусть $y$ параметр, разложите функцию в ряд по $x$

[Ms-dos4]

Osmium
В общем случае проще всего поступить так. Вводится оператор $\[D = (x - {x_0}){\partial _x} + (y - {y_0}){\partial _y}\]$, и ряд Тейлора записывается как $\[f(x,y) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{D^k}f({x_0},{y_0})}}{{k!}}} \]$. Удобство оператора в том, что вы можете, грубо говоря, "возводить в степень" данный оператор по биному Ньютона и затем действовать на функцию. Т.е. $\[{D^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k[{{(x - {x_0})}^k}\partial _x^k] \cdot [{{(y - {y_0})}^{n - k}}\partial _y^{n - k}]} \]$
(под $\[\partial _x^k\]$ подразумевается частная производная по x k-го порядка).

[arseniiv]

А в частном случае, если не ошибаюсь, стоит вспомнить ряд для $\frac1{1-x}$.

(О точности называния вещей.)

Osmium в сообщении #786090 писал(а):

В Вольфраме

В чём-чём? Конечно, и Wolfram Alpha, и Wolfram Mathematica, и Стивен Вольфрам дали бы одинаковые результаты, но…

[provincialka]

Метод arseniiv самый лучший. Обозначьте $t=x^2y^3$

[Osmium]

Спасибо! Посмотрите пожалуйста, вот что у меня получилось:

$ \sum^{\infty}_{n=0} x^{2n+1}y^{3n}$
Нужно ещё записать остаточный член $o(...)$, а как это сделать, не пойму!

[provincialka]

Точно нужно? Это же ряд, а не формула Тейлора. Впрочем, для геометрической прогрессии можно найти сумму остатка в общем виде.

[Osmium]

provincialka
Да, точно нужно. Нужно потом ещё доказать, что этому ост.члену может быть придана форма Пеано.

[provincialka]

Относительно чего будет о-малое?
Просто сложите ряд-остаток, он ведь тоже будет геом. прогрессией. Он отличается лишь множителем-мономом от исходной функции.