Как доказать, что эта формула используется для нахождения перемещения тела подброшенного вверх с начальной скоростью?
Смотря из каких начальных соображений вы собираетесь доказывать.
Можно начать с закона всемирного тяготения и законов Ньютона, сделать допущение о постоянстве силы тяжести, написать уравнение в векторном виде, разложить по координатам, решить уже предложенный дифур.
Если же уже подразумевается, что движение будет равноускоренным, прямолинейным, тогда берем готовую формулу положения тела при равноускоренном одномерном движении:
Считаем начальную точку
, положительным направлением движения - вверх, тогда знак
- положительный (кидаем вверх), а
- отрицательный (ускорение направлено вниз).
Получаем конечную формулу