Вычислить с помощью формулы Маклорена

[semigradsky]

x стремится к нулю:

$\lim f(x) = \frac{\cos{x}-\sqrt{1-x^2}}{\sin{x}-x}$

Разложил косинус, квадратный корень и синус по асимптотическим формулам до 3 члена включительно.
Получилось следующее:

$\lim f(x) = \frac{x^3+24+o(x^n)}{x^4-20x^2+o(x^{2n})}$

Пожалуйста, подскажите что делать дальше?

[Urnwestek]

А почему вы написали $o(x^n)$? Вы же конкретное $n$ взяли.

semigradsky в сообщении #785810 писал(а):

x стремится к нулю:

Ну так и напишите: $\lim\limits_{x\to 0}$

Разложили вы неправильно, в частности, числитель (откуда 24?), ищите ошибку.

[Nemiroff]

Для начала, запишем правильно:
$\lim\limits_{x\to 0} f(x) = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos{x}-\sqrt{1-x^2}}{\sin{x}-x}$
А то у вас предел функции в точке равен функции.

semigradsky в сообщении #785810 писал(а):

Разложил косинус, квадратный корень и синус по асимптотическим формулам до 3 члена включительно.

И в дополнение к указаниям из предыдущего поста давайте вы запишете эти разложения отдельно.

[semigradsky]

Вот мои разложения:
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$
$\sqrt{1-x^2} = 1- x - \frac{x^2}{2}$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

Подставляю:
$\frac{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - (1- x - \frac{x^2}{2})}{x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}-x}=5\frac{x^3+24}{x^4-20x^2}{}$

[provincialka]

Во втором ошибка, забыли вместо $x$ подставить $x^2$

[Urnwestek]

semigradsky в сообщении #785851 писал(а):

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$
$\sqrt{1-x^2} = 1- x - \frac{x^2}{2}$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

Добавлю, что так писать не очень хорошо, это ведь не тождество... Ставьте хотя бы "$+...$" в конце правой части каждого равенства.

[semigradsky]

Перерешал, получил:
$\sqrt{1-x^2} = 1-\frac{x^2}{2} - \frac{3x^4}{24}+...$

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - (1 - \frac{x^2}{2}- \frac{3x^4}{24})}{x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}-x}=\lim\limits_{x\to 0}-\frac{10x}{x-20}=0$

Всем спасибо!

(Оффтоп)

Насчет комментариев по оформлению - еще не совсем разобрался с TeX...