Три одинаковых маленьких шарика

[zircon63]

Три одинаковых маленьких шарика, соединённые невесомыми, жёсткими спицами равной длины, расположены на гладком горизонтальном столе вдоль одной прямой. В крайний шарик абсолютно упруго ударяется такой же шарик, движущийся по столу со скоростью $V_{o}$, перпендикулярно спицам. Определить скорость всех шариков сразу после удара, а также угловую скорость вращения системы.
Решение:

Т.к удар абсолютно упругий энергия системы сохраняется:
$\[\frac{{m{V_0}^2}}{2} = \frac{{I{W^2}}}{2} + \frac{{3m{V_c}^2}}{2} + \frac{{m{U^2}}}{2}\]$
Где: $\[I = 2m{l^2}\]$
Так же выполняется закон сохранения момента импульса:
$\[m{V_0}l = mUl + m{V_1}l + m{V_2}l + m{V_3}l\]$
Верны ли рассуждения?

[zircon63]

Закон сохранение импульса:
$\[m{V_0} = m{U} + m{V_1} + m{V_2} + m{V_3}\]$
Закон сохранение момента импульса:
$\[m{V_0} \cdot 0 = mU \cdot 0 + m{V_1} \cdot 0 + m{V_2}l + 2m{V_3}l\]$
Закон сохранения энергии:
$\[\frac{{m{V_0}^2}}{2} = \frac{{I{W^2}}}{2} + \frac{{m{U^2}}}{2} + \frac{{m{V_1}^2}}{2} + \frac{{m{V_2}^2}}{2} + \frac{{m{V_3}^2}}{2}\]$
Какое еще уравнение?

[Oleg Zubelevich]

Вводим неподвижную декартову систему координат $OXY$ так, что бы ее центр был расположен в точке удара, а твердое тело из трех шаров (до удара) лежало вдоль оси $Y$.

Расписываем по ней теоремы о сохранении импульса всей системы (теорема о движении центра масс) , и две теоремы о сохранении кинетического момента относительно точки $O$: для твердого тела из трех шаров и для отдельно летящего шара. Еще закон сохранения энергии для всей системы. Всего 5 уравнений.

В задаче 5 неизвестных (после удара): компоненты скорости центра масс твердого тела из трех шаров и угловая скорость этого тела, а также компоненты скорости отдельно летящего шара.

[ewert]

zircon63 в сообщении #784486 писал(а):

энергия системы сохраняется:
$\[\frac{{m{V_0}^2}}{2} = \frac{{I{W^2}}}{2} + \frac{{3m{V_c}^2}}{2} + \frac{{m{U^2}}}{2}\]$

Это нормально. В этом уравнении три неизвестных; значит, нужно ещё два уравнения.

zircon63 в сообщении #784486 писал(а):

закон сохранения момента импульса:
$\[m{V_0}l = mUl + m{V_1}l + m{V_2}l + m{V_3}l\]$

А это уже не только неверно, но и крайне неразумно. Зачем Вам понадобилось вводить новые неизвестные вдобавок к тем трём? Тех вполне достаточно; относительно какой точки Вы выписывали момент импульса?...

zircon63 в сообщении #784517 писал(а):

Закон сохранение импульса:
$\[m{V_0} = m{U} + m{V_1} + m{V_2} + m{V_3}\]$

И снова -- вполне можно было обойтись скоростью центра масс. Индивидуальные скорости шариков запросто можно выписать уже в самом конце, после нахождения скорости центра масс и угловой скорости.

[Oleg Zubelevich]

Кстати сказать, уравнение кинетического момента для отдельно летящего шара (это из тех, что я там выше предлагал) вырождено. Очевидно, вместо него надо считать что скорость шара после удара параллельна его скорости до удара -- это, фактически дополнительное предположение. Остается 4 уравнения и 4 неизвестных.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #784520 писал(а):

а твердое тело из трех шаров
<...>
Всего 5 уравнений.

Если тело предполагается твёрдым, то уравнений ни разу не пять, и даже не четыре, а ровно три: для скорости левого шарика, скорости центра масс гантельки и угловой скорости её вращения. Всё прочее -- праздно.

Другое дело, что формулировка

zircon63 в сообщении #784486 писал(а):

Три одинаковых маленьких шарика, соединённые невесомыми, жёсткими спицами равной длины,

-- весьма скользка. Формально она означает, что в центре гантельки подразумевается шарнир. Но тогда лишается какого бы то ни было смысла запрос на угловую скорость некоей таинственной "системы".

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #785750 писал(а):

Всё прочее -- праздно.

Ваше мнение, конечно очень ценно, оно гораздо ценнее уравнений динамики и предположений задачи. Но меня интересуют именно два последних пункта , а первый абсолютно безразличен.

[Xey]

Задача и предполагает 3 неизвестных, а при нецентральном ударе в общем случае неизвестных больше 5.

[ewert]

Xey в сообщении #785831 писал(а):

при нецентральном ударе в общем случае неизвестных больше 5.

Если гантелька твёрдая, то ровно пять (всё происходит на столе, и угол соударения -- не неизвестное, а входной параметр).

[zer0]

Я бы рассмотрел случай, когда жесткость "включается" сразу после удара. Т.о. сам удар - просто передача импульса-энергии нижнему шару в гантельке.