2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 20:20 
Установить зависимость для гамма функции, определяющей интеграл Эйлера.

$G(a)=\int e^{-x}\cdot x^{a-1}dx$

Зависимость такая
$G(1/2)=\sqrt \pi$

Существует такое решение:
$G(1/2)=\int x^{-1/2}\cdot e^{-x}=2\int e^{-x}dx^{1/2}$, замена икса $x=t^{2}$, тогда
$2\int e^{-t^{2}}dt=2\cdot\sqrt \pi/2$

Как выполняется последнее равенство?

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 20:28 
Вы хотите доказать, что
$\Gamma{(1/2)}=\sqrt{\pi}$ ?

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 20:40 
Да, так и есть.

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 20:42 
Donkey Hot в сообщении #785725 писал(а):
Установить зависимость для гамма
$G(1/2)=\int x^{-1/2}\cdote^{-x}=2\int e^{-x}dx^{1/2}$, замена икса $x=t^{2}$, тогда
$2\int e^{-t^{2}}dt=2\cdot\sqrt \pi/2$

Как выполняется последнее равенство?


Как то странно вы $\frac{1}{2}$ подставили в гамма-функцию

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 20:44 
Блин, это я криво оформил формулу. исправил.
Все интегралы от нуля до бесконечности.

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 20:55 
Цитата:
Блин, это я криво оформил формулу. исправил.
Все интегралы от нуля до бесконечности.


Так, хорошо, и что вам собственно непонятно? Как по мне вроде вы все уже показали.

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 20:58 
Аватара пользователя
Вы не знаете, как вычислить интеграл Пуассона?

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 21:03 
Интеграл пуассона равен корню из пи без двойки перед интегралом. у меня перед интегралом двойка, которая сокращается при вычислениях и опять же получаем корень из пи.

-- 06.11.2013, 22:19 --

Я понял про сокращение двоек. Наверно в этом решении используется не интеграл пуассона, а одно свойство гамма функции.
$G(a)G(1-a)=\pi/sin\pi$ и ещё в знаменателе умножить на "$a$"

-- 06.11.2013, 22:41 --

Подскажите пожалуйста, почему в интеграле пуассона(во втором доказательстве что он равен корню из пи, смотрю вот тут http://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%E0%F3% ... 3%F0%E0%EB) появляется 2пи?

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 21:48 
Аватара пользователя
Посчитали интеграл по $\varphi$

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 21:56 
Хоть бы немного подробнее. фи это 360 градусов, т.е. 2пи. но почему оно появляется перед интегралом?
Да, я не особо знаю матан.

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 22:09 
Donkey Hot в сообщении #785748 писал(а):
Наверно в этом решении используется не интеграл пуассона, а одно свойство гамма функции.
$G(a)G(1-a)=\pi/sin\pi$ и ещё в знаменателе умножить на "$a$"

Нет, это -- гораздо более продвинутое свойство. Сведение к Пуассону не в пример тривиальнее (тупо замена переменной).

Donkey Hot в сообщении #785748 писал(а):
почему в интеграле пуассона(во втором доказательстве что он равен корню из пи, смотрю вот тут http://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%E0%F3% ... 3%F0%E0%EB ) появляется 2пи?

А там просто пропущен один шаг (опрометчиво, как вот сейчас выяснилось, принятый за очевидный). Они просто не стали выписывать двойной интеграл в полярных координатах полностью, свернув в уме интеграл по углу в два пи.

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение06.11.2013, 22:20 
И что же там должно было быть написано?)

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение07.11.2013, 05:29 
Ну смотрите. Пусть дан интеграл $\[I = \int\limits_0^\infty  {{e^{ - k{x^2}}}} dx\]$. Тогда $\[{I^2} = \int\limits_0^\infty  {\int\limits_0^\infty  {{e^{ - k({x^2} + {y^2})}}dxdy} } \]$. Теперь перейдём в полярные координаты $\[{x^2} + {y^2} \to {r^2}\]$ и $\[dxdy = rdrd\varphi \]$. Так же заметьте, что область интегрирования - 1-ая четверть, значит в полярных мы интегрируем по r от 0 до $\[\infty \]$ а по углу от 0 до $\[\frac{\pi }{2}\]$.

$\[{I^2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^\infty  {r{e^{ - k{r^2}}}dr} }  = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\infty  {r{e^{ - k{r^2}}}dr}  = \frac{\pi }{{4k}}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - k{r^2}}}d(k{r^2})}  = \frac{\pi }{{4k}}\]$

Отсюда и имеем требуемый результат $\[\int\limits_0^\infty  {{e^{ - k{x^2}}}} dx = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{k}} \]$

 
 
 
 Re: Установить зависимость для гамма функции.
Сообщение07.11.2013, 17:35 
Спасибо, разобрался.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group