И снова предел

[MestnyBomzh]

Добрый вечер,форумчане)Помогите с такой задачей:$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}=?$ Я нашел её решение в китайской версии решебника Демидовича,однако,из-за языкового барьера(а возможно не из-за него) возникают некоторые недопонимания. По решению: домножаем числитель и знаменатель на сопряженное число числителя и получаем: $\frac{(1+ax)^n-(1+bx)^m}{x(\sqrt[mn]{(1+ax)^{n(mn-1)}}+...+\sqrt[mn]{(1+bx)^{m(mn-1)}})}$
Не могли бы вы продолжить последовательность знаменателя(т.е. написать,что там будет дальше)

[provincialka]

В таких задачах лучше вводить промежуточные обозначения. Например, обозначьте корни через $u,v$.
Но лучше вычесть и прибавить 1 и разбить на два предела.

[matidiot]

$p^\frac{1}{m}-q^\frac{1}{n}=\frac {p^n-q^m}{(...)}$
Положим $a=p^\frac{1}{m}$,$b=q^\frac{1}{n}$, тогда $a-b=\frac {a^{mn}-b^{mn}}{(...)}$, т.е. в знаменателе стоит просто геометрическая прогрессия - в этом и заключается китайский фокус.

[provincialka]

Только обозначения не совсем удачные, $a,b$ уже заняты.

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #785281 писал(а):

В таких задачах лучше вводить промежуточные обозначения. Например, обозначьте корни через $u,v$.
Но лучше вычесть и прибавить 1 и разбить на два предела.

Да,вы правы!Благодаря вашему приёму я сразу решил, ответ совпал:)

-- 05.11.2013, 21:59 --

matidiot в сообщении #785291 писал(а):

$p^\frac{1}{m}-q^\frac{1}{n}=\frac {p^n-q^m}{(...)}$
Положим $a=p^\frac{1}{m}$,$b=q^\frac{1}{n}$, тогда $a-b=\frac {a^{mn}-b^{mn}}{(...)}$, т.е. в знаменателе стоит просто геометрическая прогрессия - в этом и заключается китайский фокус.

Да уж..китайцы намудрили)

[provincialka]

Если проходили эквивалентности, можно решать так:
$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}$
Считаем один предел, потом меняем в нем параметры.

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #785344 писал(а):

Если проходили эквивалентности, можно решать так:
$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}$
Считаем один предел, потом меняем в нем параметры.

Используя $(1+x)^m-1$ эквивалетно $mx$?Да,вы правы,так даже короче будет

[provincialka]

Только не $x$, а $mx$, опечатка.

[MestnyBomzh]

Да,конечно.Исправил:)