Можно ли так вычислить предел тут?

[Tosha]

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x+\tg 3x}{\sin 4x+\tg 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x+3x}{4x+ 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{5x}{9x}=\dfrac{5}{9}$

[mihailm]

да, если о маленькие добавить

[Tosha]

mihailm в сообщении #785561 писал(а):

да, если о маленькие добавить

А если не добавлять?

[mihailm]

нет, препод может за это 2 поставить и будет прав

[Ms-dos4]

mihailm
Это с чего бы? По моему вы слишком строги. Да, конечно писать $\frac{{\sin 2x + {\mathop{\rm tg}\nolimits} 3x}}{{\sin 4x + {\mathop{\rm tg}\nolimits} 5x}} = \frac{{2x + 3x}}{{4x + 5x}}$ просто так нельзя, но т.к. формально всё находится под знаком предела, а пределы равны, я ничего дурного в записи $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + {\mathop{\rm tg}\nolimits} 3x}}{{\sin 4x + {\mathop{\rm tg}\nolimits} 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + 3x}}{{4x + 5x}}$ не вижу.

[provincialka]

Тут есть тонкость: считать ли запись просто цепочкой верных равенств или неким сжатым рассуждением, доказательством. Если человек пишет контрольную, он должен не только получить ответ, но и объяснить , откуда он получился. Если писать без о-малых, надо заменить их словами. Но это будет коряво и занудно.

Вот смотрите, какие записи вы бы считали верными:
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x+\tg 3x}{\sin 4x+\tg 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x+3x}{4x+ 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{5x}{9x}=\dfrac{5}{9}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x+\tg 3x}{\sin 4x+\tg 5x}=\dfrac{5}{9}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x+\tg 3x}{\sin 4x+\tg 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 +5x)}{\exp(9x-x^2)-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{5x}{9x}=\dfrac{5}{9}$

Во всех случаях равенства верные.

[mihailm]

Ms-dos4 в сообщении #785617 писал(а):

mihailm
Это с чего бы? По моему вы слишком строги...

Ну можно и не придираться)

[provincialka]

Я лично видела много решений типа $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x-\tg x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-x}{x^3}=0$ . Если задание учебное, я должна проверить, понимает ли человек, что можно, а что нельзя? Можно, конечно, и устно опросить, но это долго.

-- 06.11.2013, 17:32 --

Я как-то вела целый бой по поводу замены на эквивалентные, причем не со студентом, а с вполне, казалось бы, вменяемым участником некоего (не этого) форума. Извините за внешнюю ссылку, но там большой текст.

[ewert]

Конечно, лучше с о-маленькими. Но можно и без них. Например, так:

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x+\tg 3x}{\sin 4x+\tg 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\frac{\sin 2x}{2x}+3\frac{\tg 3x}{3x}}{4\frac{\sin 4x}{4x}+5\frac{\tg 5x}{5x}}=\dfrac{2+3}{4+5}=\dfrac{5}{9}.$

Но это занудство, а вполне допустимый компромисс такой: пропускать $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x+\tg 3x}{\sin 4x+\tg 5x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x+3x}{4x+ 5x},$ пресекая лишь случаи, когда главные члены сокращаются.

[Tosha]

Спасибо, ясно!

[Ms-dos4]

provincialka
Ну вы уж загнули (с 3-им примером). Я имел ввиду, что когда опускаются очевидные вещи это нормально, а так что б взять и 2 сразу... Ну я бы точно тогда вылетел бы с универа.