Несобственные интегралы

[SpBTimes]

Возникли некоторые вопросы. Пусть $f \in C^1[0; +\infty)$, причем $f \geqslant 0$.
Очевидно, что если $\int\limits_0^{\infty}f(t) dt$ сходится, то $\lim\limits_{t \to \infty} f(t)$ либо равен нулю, либо не существует.
Из того, что $f(x) = f(0) + \int\limits_0^{x}f'(t)dt$, можно заключить, что интеграл от производной сходится тогда и только тогда, когда $f(x) \to 0$ на бесконечности.
А справедливы ли такие же результаты, если $f(x)$ просто дифференцируема? Тогда, вообще говоря, представление $f(x)$ через интеграл не работает.

[yafkin]

"Очевидно, что если сходится, то либо равен нулю, либо не существует."

Если предел не существует ,что мы считаем?

[provincialka]

yafkin в сообщении #785002 писал(а):

"Очевидно, что если сходится, то либо равен нулю, либо не существует."

Если предел не существует ,что мы считаем?

Это разные сходимости: сходится - интеграл, а предел берется у подынтегральной функции.