Логарифмическое уравнение

[BENEDIKT]

Необходимо решить логарифмическое уравнение:

$\lg^2 (x+1)=\lg(x+1) \lg(x-1) +2\lg^2 (x-1)$

Попробовал выполнить некоторые преобразования:
$\lg(x+1) \lg(x-1)=\lg^2 (x+1)-\lg^2 (x-1)^2$

$\lg(x+1) \lg(x-1)=\lg^2 (\frac{x+1}{(x-1)^2})$

Далее решение застопорилось. Введение новой переменной в качестве альтернативного решения также не помогло, т. к. привело к одному уравнению с двумя переменными.
Можно ли как-то преобразовать выражение:
$\lg(x+1) \lg(x-1)$? Корректно ли такое преобразование:
$\lg^2 ((x+1)(x-1))$?

[AV_77]

Разделите на $\lg^2 (x+1)$.

[BENEDIKT]

Разделил, но всё равно ничего не получилось.

$\frac{\lg(x-1)}{\lg(x+1)}+\frac{2\lg^2(x-1)}{\lg^2 (x+1)}=1$

$\frac{\lg(x-1)\lg(x+1)+2\lg^2(x-1)}{\lg^2(x+1)}=1$

Дальнейшие преобразования приводят к тому, c чего начал.

[AV_77]

Сделайте замену $t = \frac{\lg (x-1)}{\lg (x+1)}$. Вы же решали такие уравнения.

[BENEDIKT]

Точно! Большое спасибо за помощь.

[Евгений Машеров]

Я бы делил на $\lg(x+1)\lg(x-1)$

[BENEDIKT]

Дабы не засорять форум лишними темами, спрошу здесь же: как "превратить" $\log_a kx$ в $\log_a x$? Попробовал рассуждать: второе число есть такая степень, которая необходима для превращения числа в другое, меньшее в k раз. Но это и так очевидно. В учебнике же не нашёл соответствующего свойства логарифмов.

[Nemiroff]

BENEDIKT в сообщении #784493 писал(а):

В учебнике же не нашёл соответствующего свойства логарифмов.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Не нашли, серьёзно?

[BENEDIKT]

Простите за невнимательность! Большое спасибо!