Вероятность натурального числа быть простым

[vicvolf]

На основании асимптотического закона распределения простых чисел количество членов последовательности простых чисел $f(n)$ на интервале натурального ряда от 2 до х определяется формулой:
$ \pi(f,2,x) \sim \int_{2}^{x}{\frac {dt} {\ln(t)}}$.(1)
Аналогично для интервала от 2 до х+y:
$\pi(f,2,x+y) \sim \int_{2}^{x+y}{\frac {dt} {\ln(t)}}$.(2)
Поэтому:
$\pi(f,2,x+y) -\pi(f,2,x) \sim \int_{x}^{x+y}{\frac {dt} {\ln(t)}}=y/\ln(z)$,(3) где $x<z<x+y$.
На основании (3) получаем при $x \gg y$:
$\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y} \sim 1/\ln(x)$ (4) или
$P(f,x,x+y)=\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$, (5)
где $P(f,x,x+y)$ - плотность последовательности простых чисел на интервале от х до x+y, которая, как было показано ранее является значением конечной вероятностной меры на данном интервале.
Например, пусть $y=1,5 \cdot 10^5$.
В этом случае:
При $x=10^8$ значение $1/\ln(x)=5,428\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=5,436 \cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,008 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,1476%.
При $x=10^9$ значение $1/\ln(x)=4,825\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=4,828\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,003 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,0621%.
При $x=10^{10}$ значение $1/\ln(x)=4,346\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=4,341\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,005 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,1152%.
При $x=10^{11}$ значение $1/\ln(x)=3,948\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=3,983\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,035 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,8787%.
При $x=10^{12}$ значение $1/\ln(x)=3,619\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=3,622\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,003 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,0828%.

[vorvalm]

И что это доказывает?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #758959 писал(а):

И что это доказывает?

Что вероятность натурального числа быть простым действительно близка к $1/\ln(x)$. В примерах, в качестве количества простых чисел на интервалах $\pi(f,2,x),\pi(f,2,x+y)$, взяты реальные значения.

[vorvalm]

Вас понял.

[vicvolf]

Найдем эвристическими методами вероятность, что натуральное число х является простым.
Вероятность, что натуральное число х делится на 2, равна 1/2. Соответственно вероятность, что х не делится на 2, равна 1-1/2=1/2. Вероятность, что х делится на 3, равна 1/3, соответственно вероятность, что х не делится на 3, равна 1-1/3=2/3 и.т.д. Вероятность, что х делится на простое число p, равна 1/p. Соответственно вероятность, что х не делится на p, равна 1-1/p. Предположим, что события, что натуральное число х не делится на p, являются независимыми. Если натуральное число х>1 не делится ни на одно простое число, не превосходящее , то оно является простым. Тогда на основании формулы вероятности произведения независимых событий вероятность, что натуральное х является простым, равна: $\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)$. (6)
На основании теоремы Мертенса справедливо соотношение:
$0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)\sim 1/\ln(x)$,(7) где $\gamma$ - постоянная Эйлера, а $0,5e^{\gamma}=0,890536...$.
Соотношение (7) можно записать в виде:
$0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)+o_1(1/\ln(x))=1/\ln(x)$,(8)
где $o_1(1/\ln(x))$ естественно отличается от $o(1/\ln(x))$ в формуле (5).
Для определения соотношения величин в формуле (8) приведем следующие данные:
При $x=10^2$ значение величины $\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,229$, значение $0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,204$, а значение $1/\ln(x)=0,217$. Следовательно, разница значений $1/\ln(x)-0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,013$.
При $x= 10^3$ значение величины $\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,158$, значение $0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,141$, а значение $1/\ln(x)=0,146$. Следовательно, разница значений $1/\ln(x)-0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,005$.
При $x= 5 \cdot 10^3$ значение величины $\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,132$, значение $0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,118$, а значение $1/\ln(x)=0,119$. Следовательно, разница значений $1/\ln(x)-0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)=0,001$, т.е. менее 1%.
При $x\geq 10^8$ разница $1/\ln(x)-0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)$ вообще не значительна, поэтому на основании (5) и (8) справедлива формула:
$P(f,x,x+y)=0,5e^{\gamma}\prod_{p\leq \sqrt{x}}(1-1/p)+o(1/\ln(x))$.(9)
Таким образом, для больших х ($x \gg y$) вероятность натурального х быть простым определяется формулой (9).
Если сравнить (9) с эвристической формулой (6), то события, что натуральное число х не делится на различные простые числа, являются зависимыми с коэффициентом зависимости равным $0,5e^{\gamma}$.

[Deggial]

правила форума писал(а):

3. Дискуссионные темы
...
3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны....

vicvolf в сообщении #759217 писал(а):

вероятность, что натуральное число х является простым

Понятие не определено, пишите определение.
В случае отсутствия корректного определения тема сразу пойдет в Пургаторий как продолжение предыдущих тем, уже оказавшихся там.

vicvolf в сообщении #758946 писал(а):

$P(f,x,x+y)$ - плотность последовательности простых чисел на интервале от х до x+y, которая, как было показано ранее является значением конечной вероятностной меры на данном интервале.

Читателю предоставляется уникальная возможность найти обоснование полным перебором тем форума.

[vicvolf]

Deggial в сообщении #759220 писал(а):

vicvolf в сообщении #758946 писал(а):

$P(f,x,x+y)$ - плотность последовательности простых чисел на интервале от х до x+y, которая, как было показано ранее является значением конечной вероятностной меры на данном интервале.

Читателю предоставляется уникальная возможность найти обоснование полным перебором тем форума.

На основании асимптотического закона распределения простых чисел в гипотезах о простых числах Харди-Литлвуда, Бейтмана-Хорна предполагается, что вероятность большого натурального числа х быть простым равна $1/\ln(x)$. Данному значению равна и асимптотическая плотность. Однако, асимптотическая плотность последовательности простых чисел не обладает свойством сигма-аддитивности и поэтому не является вероятностной мерой.
В теме "Асимптотическая плотность последовательности и гипотезы о простых числах" было дано определение плотности последовательности f(n) на конечном интервале натурального ряда [A,B): $P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.$(10)
Также были доказаны утверждения.
Утверждение 1
Целочисленные строго-возрастающие последовательности на конечном интервале натурального ряда с добавлением последовательностей не имеющих членов и имеющих один член на данном интервале образуют сигма-алгебру.
Утверждение 2
Плотности целочисленных строго возрастающих последовательностей на конечном интервале натурального ряда [A,B) (10) с добавлением последовательностей не имеющих членов и имеющих один член на данном интервале являются значениями конечной вероятностной меры - $P(A,B)$.
На основании утверждений (1), (2) плотность последовательности простых чисел f(n) (целочисленной строго возрастающей) является значением вероятностной меры на конечном интервале натурального ряда.

Deggial в сообщении #759220 писал(а):

vicvolf в сообщении #759217 писал(а):

вероятность, что натуральное число х является простым

Понятие не определено, пишите определение.

Определим вероятность большого натурального числа х быть простым.
На интервале натурального ряда [$x,x+y$) находится $y$ натуральных чисел, из них $\pi(f,x,x+y)$ - простых чисел. Предполагая равновероятное распределение простых чисел на данном интервале, получаем, что вероятность натурального числа х быть простым числом равна:
$P(f,x,x+y)=\frac {\pi(f,x,x+y)} {y}.$ (11)
Пояснение
На основании утверждений (1), (2) данная плотность является значением вероятностной меры на интервале натурального ряда [x,x+y) или просто вероятностью каждого натурального числа из интервала [x,x+y) быть простым числом, в том числе натурального числа х. По предположению вероятности каждого натурального числа из данного интервала быть простым равны между собой.
При больших значениях х и $x \gg y$ функция плотности распредения простых чисел на интервале [x,x+y) меняется слабо и закон распределения простых чисел на данном интервале действительно близок к равновероятному. Поэтому вероятность большого натурального числа х быть простым определяется формулой (11) при указанных допущениях.
На основании (5) и (11) имеем:
$P(f,x,x+y)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x)).$ (12)
Естественно возникает вопрос длины интервала $y$.
Модель Крамера предполагает:
$\pi(f,x,x+y) \sim y/\ln(x), y=(\ln(x))^{\lambda}, \lambda>2$, для того, чтобы в указанный интервал попало хотя бы одно простое число.
Например, при $\lambda=3,x=10^{12}$ получаем $y=6252,89$.
В своем примере в первом сообщении темы я взял интервал с запасом $y=150000$. Естественно в этом случае теряется точность, так как распределение получается менее равновероятным.

Прошу не судить меня так строго, как в прошлый раз. Я конечно могу ошибаться. Для того и нужны дискуссионые темы, чтобы их обсуждать.

[vicvolf]

Продолжу о выборе величины y.

Длина интервала y должна быть с одной стороны достаточно велика из статистических соображений, а с другой стороны быть значительно меньше х, чтобы значение $1/\ln(x+y)$ не значительно отличалось от $1/\ln(x)$. Поэтому значение y выбирается из соображений, чтобы относительная ошибка была меньше допустимой:
$\Delta=\frac {1/\ln(x)-1/\ln(x+y)} {1/\ln(x)} \leq \Delta_d$.(13)
После преобразований неравенства (13) получаем:
$y \leq x \cdot (x^{\Delta_d/(1-\Delta_d)}-1)$. (14)
Если выбрать значение у равное:
$y = x \cdot (x^{\Delta_d/(1-\Delta_d)}-1)$,(15)
то на основании (15) получаем:
$x+y=x^{1/(1-\Delta_d)}$. (16)
Зафиксируем величину $\Delta_d$, тогда на основании (12):
$P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.(17)
$o(1/\ln(x))$ при конкретном значении х является числом.
Значение модуля этого числа (отклонения вероятности большого натурального числа х быть простым от $1/\ln(x))$) равно:
$|P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})-1/\ln(x)|$.(18)
Определим значение этого отклонения при $\Delta_d=0,001$ и $x=10^8,10^9,10^{10},10^{11},10^{12}$.
При $x=10^8$ значение $y=1,856\cdot 10^6$, значение $P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})=5,4259\cdot 10^{-2}$ и отклонение $|P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})-1/\ln(x)|=0,0021$.
При $x=10^9$ значение $y=2,093\cdot 10^7$, значение $P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})=4,8233\cdot 10^{-2}$ и отклонение $|P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})-1/\ln(x)|=0,0017$.
При $x=10^{10}$ значение $y=2,329\cdot 10^8$, значение $P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})=4,3421\cdot 10^{-2}$ и отклонение $|P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})-1/\ln(x)|=0,0039$.
При $x=10^{11}$ значение $y=2,615\cdot 10^9$, значение $P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})=3,9433\cdot 10^{-2}$ и отклонение $|P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})-1/\ln(x)|=0,0048$.
При $x=10^{12}$ значение $y=2,802\cdot 10^{10}$, значение $P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})=3,6152\cdot 10^{-2}$ и отклонение $|P(f,x,x^{1/(1-\Delta_d)})-1/\ln(x)|=0,0038$.

[vicvolf]

Плотность целочисленной строго возрастающей последовательности f(n) на ограниченном интервале [A,B) натурального ряда $P(f,A,B)$ является значением вероятностной меры на интервале [A,B) - $P(A,B)$.
Формулировка, приведенная выше, вызывает много вопросов, поэтому сделаю пояснение. С этой целью построю следующую вероятностную модель.
Пусть каждому натуральному числу из интервала [A,B), принадлежащему последовательности f(n), соответствует белый шар, а каждому натуральному числу из интервала [A,B), не принадлежащему последовательности f(n), соответствует черный шар. Положим все эти шары в урну и будем наугад вынимать из урны шар.
Итак, всего количество шаров в урне В-А, поэтому вероятность выбрать наугад любой один шар из урны равна 1/(В-А). Количество белых шаров в урне равно количеству членов последовательности f(n) на интервале [A,B) - $\pi(f,A,B)$. Под плотностью последовательности f(n) на интервале [A,B) понимаем $P(f,A,B)=\pi(f,A,B)/(B-A)$.
Отсюда следует, что $P(f,A,B)$ равно вероятности выбрать из урны наугад любой один белый шар. Другими словами, $P(f,A,B)$ - это вероятность выбрать наугад любое натуральное число из интервала [A,B), принадлежащее последовательности f(n).
Например, пусть f(n) - последовательность простых чисел на интервале [1,11). Тогда вероятность выбрать наугад любое простое число из данного интервала равна $P(f,1,11)=4/(11-1)=0,4$.

[vicvolf]

Теперь поговорим о точности определения вероятности.
Абсолютная ошибка в определении плотности $P(f,A,B)$ равна: $\Delta_{a1}=1/(B-A)$.(19)
Относительная ошибка в определении плотности $P(f,A,B)$ равна: $\Delta_{o1}=\frac {1/(B-A)} {\pi(f,A,B)/(B-A)}=1/\pi(f,A,B)$.(20)
Например, для последовательности простых чисел f(n) относительная ошибка на интервале [1,11) равна:
$\Delta_{o1}=1/\pi(f,1,11)=1/4$, а на интервале [21,31) равна: $\Delta_{o1}=1/\pi(f,21,31)=1/2$.
Оценим значение относительной ошибки в определении плотности последовательности простых чисел на интервале [x, x+a) (x-большое натуральное число): $\Delta_{o1}=1/\pi(f,A,B)=1/\int_{x}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}$. (22)
Учитывая оценку: $\int_{x}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}>a/\ln(x+a)$ на основании (22) получаем оценку:
$\Delta_{o1}=1/\int_{x}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}<ln(x+a)/a$. (23)
Например, если $x=10^8$ и $a=1,8 \cdot 10^5$, то $\Delta_{o1}=10^{-4}$ (0,01%). Если $x=10^8$ и $a=1,8 \cdot 10^3$, то $\Delta_{o1}=10^{-2}$ (1%).
Следовательно, относительная ошибка в определении плотности последовательности простых чисел на интервале [x,x+a) или относительная ошибка в определении вероятности натурального числа из интервала [x,x+a) быть простым $\Delta_{o1}$ зависит от длины интервала. С увеличением длины интервала относительная ошибка $\Delta_{o1}$ уменьшается.

[megamix62]

А если $x=n!$ , то какое будет $x+a$

Все что-то доказывают и при этом пользуются гипотезами, Вы например - гипотезой Крамера...
А если она неверна , тогда "пшик" доказательству...

Нету строгости в доказательствах ... Нет с нами Чебышева

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #785520 писал(а):

А если $x=n!$ , то какое будет $x+a$

Мы выбираем наугад число из интервала [x,x+a) и смотрим является ли оно простым или нет. Ваше число $x=n!$ составное, поэтому ему соответствует черный шар, а мы считаем в модели белые и делим на общее количество шаров, определяя искомую вероятность. Все нормально!

Цитата:

Все что-то доказывают и при этом пользуются гипотезами, Вы например - гипотезой Крамера...
А если она неверна , тогда "пшик" доказательству...
Нету строгости в доказательствах ... Нет с нами Чебышева

Модель Крамера использовалась только для примера и к доказательству никакого отношения не имеет.

[vicvolf]

Продолжу о точности определения вероятности.
В вероятностной модели, приведенной в сообщении от 04.11.13 предполагается равная вероятность выбора простого числа из интервала [x,x+a), но на самом деле с ростом х эта вероятность падает на основании асимптотического закона распределения простых чисел, как $1/\ln(x)$. Только при больших х и небольших а ($x \gg a$) это соблюдается. В этих случаях вероятность выбора простого числа из интервала [x,x+a) примерно равна $1/\ln(x)$. В других случаях это приводит к значительной ошибке в определении вероятности, максимум которой достигается рядом с границей х+а: $\Delta_{a2}=1/\ln(x)-1/\ln(x+a)$.(24)
Поэтому относительная ошибка в определении вероятности не будет превосходить:
$\Delta_{o2}\leq \frac {1/\ln(x)-1/\ln(x+a)}{1/\ln(x)}=1-\frac {\ln(x)} {\ln(x+a)}$.(25)
Учитывая (23) и (25) суммарная относительная ошибка в определении вероятности не будет превосходить:
$\Delta_{o}=\Delta_{o1} +\Delta_{o2}\leq 1-\frac {\ln(x)} {\ln(x+a)}+\frac {\ln(x)} {a}$.(26)
При фиксированном значении х имеется оптимальное значение интервала а, при котором функция $\Delta_{o}(a)$ имеет минимум.
Например, при $x=10^{8}$ оптимальное $a=2 \cdot 10^5$, при $x=10^{10}$ оптимальное $a=2 \cdot 10^6$, $x=10^{12}$ оптимальное $a=2 \cdot 10^6$.

[vicvolf]

Небольшие уточнения.
При $x=10^{12}$ оптимальное $a=2,7 \cdot 10^7$. В этом случае относительная ошибка не превосходит: $\Delta_o=2\cdot 10^{-6}$.
Если при данном значении х - $a=10^8$, то относительная ошибка - $\Delta_o=3,9\cdot 10^{-6}$, т.е. она выросла с ростом а.
При $x=10^{10}$ и оптимальном значении $a=2 \cdot 10^6$ относительная ошибка не превосходит: $\Delta_o=2\cdot 10^{-5}$.
Если при данном значении х - $a=10^8$, то относительная ошибка - $\Delta_o=4,3\cdot 10^{-4}$, т.е. она выросла с ростом а.
При $x=10^{8}$ и оптимальном значении $a=2 \cdot 10^5$ относительная ошибка не превосходит: $\Delta_o=2\cdot 10^{-4}$.
Если при данном значении х - $a=10^8$, то относительная ошибка - $\Delta_o=3,6\cdot 10^{-2}$ (3,6%), т.е. она выросла с ростом а.
Таким образом, определяется следующая тенденция.
Для каждого значения х имеется оптимальное значение $a < x$, при котором значение относительной ошибки в определении вероятности минимально. При значении а меньше и больше оптимального (при фиксированном значении х) относительная ошибка в определении вероятности возрастает.
Хочу подчеркнуть. Когда я говорю о вероятности числа х быть простым, то имею в виду, вероятность числа порядка х быть простым. Например, числа порядка $10^8$. Под вероятностью числа порядка х быть простым, в данном случае, понимается плотность последовательности простых чисел на интервале [x,x+a) при больших х и $x \gg a$.

[megamix62]

Цитата:

Мы выбираем наугад число из интервала [x,x+a) и смотрим является ли оно простым или нет. Ваше число $x=n!$ составное, поэтому ему соответствует черный шар, а мы считаем в модели белые и делим на общее количество шаров, определяя искомую вероятность. Все нормально!

Но после черного шара ($x=n!$ ) идут белые или черные

как минимум $n$ черных...

пусть $x=492111<10! $ , каким должно быть $a$