Интересная задача на оценку

[Mandel]

У меня такой вопрос. Пусть $S_k=\sum_{j=1}^n z_j^k$, $k=1,\ldots,n$, $z \in C$ (обозначим эту систему через (1)).
Пусть $|S_k| \leqslant 1$. Можно ли утверждать, что тогда все $|z| \leqslant1+\epsilon$,
$\epsilon \to 0$ при $n \to \infty$.

Я начал так. Корни $z_d$, $d=1,\ldots,n$ системы (1) являются корнями полинома
$P_n(z)=z^n - \sigma_1 z^{n-1}+\ldots+(-1)^k \sigma_n$, где $\sigma_k$ находятся по рекуррентным формулам Ньютона.
А дальше я остановился. Не знаю как можно доказать оценку для $z_d$.

[незваный гость]

Не уточните? Вы имеете в виду, что $|S_k| \leqslant 1$[ для всех $k$, или для какого-то одного?

[Mandel]

незваный гость, для всех.

[незваный гость]

Попробуйте посмотреть Полиа и Сегье (т. 1, отдел 3, глава 1, §2; т. 2, отдел 5 глава 1). Там как раз даны некоторые критерии локализации корней в круге.

[Mandel]

Думаю, что там не написано про доказательство данной задачи )
А нельзя через оценку симметричных многочленов выйти на оценку $|z|\leqslant 1+\epsilon$?

[Mandel]

Во-вторых,этих книжек на poiskknig.ru нет (

[Brukvalub]

Наверное, у нас с Вами разные поиски книг , см. http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1

[Mandel]

Угу. Только страница http://ilib.mirror0.mccme.ru/djvu/polya ... sege-2.htm недоступна ((

[Brukvalub]

Угу, только Вас отсылают к т.1, если уж так трудно разобраться, то вот прямая ссылка: http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/592f52 ... 2804a.djvu , а вот прямая ссылка на т.2 (если вдруг понадобится) http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/041d8f ... 2aac2.djvu
На дальнейшее: на стр., которую я Вам ранее указал, под каждой ссылкой есть такая надпись маленькими красными буковками - "копия файла" - жимкаете на нее левой клавишей мыши - и появляется файл с книжицей.

[Mandel]

Спасибо.
Я так понял, что меня инетересует задача 21 из 1-ого тома. О которой рассказывалнезваный гость.

Добавлено спустя 1 час 4 минуты 18 секунд:

Как я понял надо теперь оценить $n|a_1|, \sqrt{n}|a_2|,\ldots,\sqrt[n]{n|a_n|}$ и найти из них максимум.
Фактически я должен оценить симметричные многочлены, т.е. многочлены вида

$$ a_k=\frac{(-1)^{k+1}}{k}\left(S_k+\sum_{j=1}^{k-1}(-1)^j S_{k-j} a_j\right), k=1,\ldots,n. $$

Ну я и оцениваю

$$ \sqrt[k]{n|a_k|} \leqslant \sqrt[k]{\frac{n}{k}\left(|S_k|+\sum_{j=1}^{k-1}|S_{k-j}|a_k|\right)} \leqslant \sqrt[k]{\frac{n}{k}\left(1+(k-1)\sum_{j=1}^{k-1}|a_j|\right)} $$

А дальше как оценить. Ведь каждый последующий можно оценить через предыдущий.

[Mandel]

И вообще какая из величин $n \sqrt[j]a_j$, $j=1,\ldots,n$ будет максимальной?