Последовательность

[Tosha]

Последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ такова, что $a_1=-1$ и $a_{n+1}=a_n+n$. Докажите, что для всех $n\in \mathbb{N}$ справедливо равенство $a_n=\dfrac{(n-2)(n+1)}{2}$

Скажите, пожалуйста, можно ли так доказать?!

$\dfrac{(n-2+1)(n+1+1)}{2}=\dfrac{(n-2)(n+1)}{2}+n$

$\dfrac{(n-1)(n+2)}{2}=\dfrac{(n-2)(n+1)+2n}{2}$

$\dfrac{n^2+n-2}{2}=\dfrac{n^2+n-2}{2}$

А зачем дано, что $a_1=-1$?

[ewert]

Tosha в сообщении #784221 писал(а):

А зачем дано, что $a_1=-1$?

Затем, что нужна база индукции. Вы ж по индукции, надеюсь?...

[Tosha]

ewert в сообщении #784223 писал(а):

Затем, что нужна база индукции. Вы ж по индукции, надеюсь?...

Нет, не по индукции. Теперь попробую по индукции.

1) База: $a_1=\dfrac{(1-2)(1+1)}{2}=-1$. База проверена

2) Переход: Предполжим, что утверждение $a_{k+1}=a_k+k$ справедливо для $k=n$. Проверим для $k=n+1$:

$\dfrac{(n-2+1)(n+1+1)}{2}=\dfrac{(n-2)(n+1)}{2}+n$

$\dfrac{(n-1)(n+2)}{2}=\dfrac{(n-2)(n+1)+2n}{2}$

$\dfrac{n^2+n-2}{2}=\dfrac{n^2+n-2}{2}$

Переход осуществлен, так как получили тождество. Верно ли это все?)

[arseniiv]

Индукция в порядке, ошибок нет.

[_Ivana]

ewert в сообщении #784223 писал(а):

Tosha в сообщении #784221 писал(а):

А зачем дано, что $a_1=-1$?

Затем, что нужна база индукции.

Если занудствовать, то это дано ни для какой ни для базы и никакой ни индукции, а просто чтобы саму последовательность как таковую рекуррентно задать.

[ewert]

Если занудствовать, то это называется просто начальным условием в разностном уравнении первого порядка. Но если не занудствовать, а тупо доказывать по индукции (как и положено в этой задачке, раз уж конечное выражение дано), то это называется базой.

[iifat]

Tosha в сообщении #784228 писал(а):

Предполжим, что утверждение $a_{k+1}=a_k+k$ справедливо для $k=n$. Проверим для $k=n+1$:

Вообще-то нет, раз уж вас заинтересовала индукция. $a_{k+1}=a_k+k$ справедливо, поскольку это условие задачи. Шаг индукции начинается с предположения $a_k=\dfrac{(k-2)(k+1)}{2}$ при $k=n$

[bot]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #784340 писал(а):

$a_k=\dfrac{(k-2)(k+1)}{2}$ при $k=n$

Если $k=n$, то к чему их различать? Вот кто эту муру придумал и зачем?
Доказывать надо импликацию $a_n=\dfrac{(n-2)(n+1)}{2}\Rightarrow a_{n+1}=\dfrac{(n-1)(n+2)}{2}$ и всё.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #784532 писал(а):

Вот кто эту муру придумал и зачем?

Для краткости придумал. Лишние формулы склонны утомлять, так что удобнее бывает сказать: "если (*) верно для $k=n$, то оно верно и для $k=n+1$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Им просто лень было писать «пусть $A(n)\equiv\ldots$, … $A(1)$ … $A(n)$ … $A(n+1)$ …», хотя так должно быть удобнее. Ну или с индексами.

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #784535 писал(а):

Лишние формулы склонны утомлять

Так ведь лишние появляются именно из-за этого совершенно лишнего $k$, заставляющее механически переписывать формулу, заменяя $n$ на $k$, а потом ещё раз на $k+1$, а пока это пишут, уже и не знают, что доказывать то надо. И почему это так, тем более не видят. Какая уж тут импликация - это как бы и потерялось.