Математическая статистика

[Joe Black]

Подскажите пожалуйста может ли быть состоятельная оценка если её дисперсия не нулевая асимптотически?

[--mS--]

Конечно. Дисперсии и вообще может не быть. А если есть, сходимость по вероятности случайных величин не влечёт даже сходимости математических ожиданий, куда уж дисперсиям.

[Joe Black]

Но есть же теорема Слуцкого

[Joe Black]

Или здесь следует исходить из неравенства Рао-Крамера?

[Otta]

Но ведь Вам же уже ответили. Что Вы хотите делать с теоремой Слуцкого и нер-вом Рао-Крамера? Приведите пример сходящейся по вероятности последовательности случайных величин, таких, что последовательность матожиданий не сходится. Или сходится, но не туда. Дисперсии будут вести себя не лучше, даже при условии существования.

[Joe Black]

наверное лучше всего брать оценку для распределения Коши?

[Otta]

Какую? Отвлекитесь Вы от оценок, это не существенно. Займитесь сходимостью по вероятности произвольных последовательностей случайных величин.

[Joe Black]

ok

[Joe Black]

Придумал! Пусть есть последовательность случайных величин $\{ X _{k} \}_{k=1}^{\infty}$, где $X_k \sim C(0,\frac{1}{k})$. Тогда $P(|X_k|<\delta)=\frac{2}{\pi}acrtg(k\delta)$

Получаем состоятельность: $\forall \delta \lim_{k \rightarrow \infty}P(|X_k|<\delta)=\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{2}{\pi}arctg(k\delta) = 1$

Также $\forall k \hspace{2mm} V(X_k)=\infty$

[Otta]

Ну например. Не знаю, насколько корректно говорить тут о том, что дисперсия бесконечна, поскольку она вовсе не определена. Я бы все же сказала, что она не существует.

Пример не шибко нагляден только тем, что матожидания у каждого элемента последовательности не существуют.

Я взяла чуть ли не первую попавшуюся последовательность дискретных случайных величин, сходящихся по вероятности, так чтобы матожидание у каждой было одно, а матожидание у предельной - совсем другое. На дискретных все возможные варианты развития событий неплохо удается посмотреть.

[--mS--]

Joe Black, а произвольную состоятельную оценку произвольного параметра любого распределения можно чуточку испортить, поменяв её значения на любые растущие значения на множестве убывающей вероятности. На состоятельности это не скажется, а для матожиданий/дисперсий может оказаться критичным.

[Joe Black]

Спасибо!