Волновая функция от нескольких координат(определение?)

[CptPwnage]

Всем привет
Допустим движение одномерно, тогда есть оператор координаты ${\bf x}$, с собственными векторами и собственными значениями соответственно ${\bf x} \left|x\right\rangle =x \left|x\right\rangle$
Тогда волновая функция определяется на множестве собственных значений $x$; $\psi(x) = (\psi,x)$, где $x$ в скалярном произведении соответствующий собственный вектор.
Но что происходит когда мы переходим к трехмерному пространству? В учебнике это как-то проскакивается, и говорится теперь $\psi(x,y,z)$, но волновая же функция зависит только от одного собственного числа? Или мы теперь рассматриваем координаты как полную систему наблюдаемых, и вот те аргументы $x,y,z$ это как раз собственные значения соответствующих операторов координат на общих собственных векторах?

[ИСН]

У Вас логический заскок. Функция определяется не на множестве собственных значений, а на всём пространстве. Как ещё сказать? Функция - это функция не от собственных значений. Это функция от x, от координаты (ну, или от трёх координат). Собственные значения функции к ней имеют некоторое отношение, но оно описывается другими словами.

[CptPwnage]

Я что-то запутался, вроде согласно Гальцову волновая функция это функция на спектре... Или на векторах гильбертова пространства?

[espe]

CptPwnage в сообщении #784023 писал(а):

мы теперь рассматриваем координаты как полную систему наблюдаемых, и вот те аргументы $x,y,z$ это как раз собственные значения соответствующих операторов координат на общих собственных векторах?

Да.

[ewert]

CptPwnage в сообщении #784023 писал(а):

и вот те аргументы $x,y,z$ это как раз собственные значения соответствующих операторов координат

Нет. "Вот те аргументы" -- это просто аргументы волновой функции (в координатном представлении). А "операторы координат" -- это операторы умножения на соответствующие координаты. И их "собственные значения" (которых в точном смысле и не существует) интерпретируются как возможные значения, которые могут принимать координаты.

CptPwnage в сообщении #784103 писал(а):

волновая функция это функция на спектре... Или на векторах гильбертова пространства?

Ни то, ни другое. Волновая функция -- это элемент гильбертова пространства.

Как-то всё запущено.

[g______d]

Нет, так часто говорят. Полной системой операторов назовем набор коммутирующих самосопряжённых операторов, таких что кратность их совместного спектра не выше единицы. Например, вышеуказанные операторы координат, или импульсов, или угловых координат. Тогда элементы гильбертова пространства соответствуют функциям на их совместном спектре.

[ewert]

g______d в сообщении #784408 писал(а):

Тогда элементы гильбертова пространства соответствуют функциям на их совместном спектре.

Соответствовать-то они могут. Только вот называть элементами гильбертова пр-ва функции на спектре нельзя: пока нет гильбертова пространства -- нет и спектра. Так же, как и нехорошо называть собственными значениями точки непрерывного спектра. Казалось бы, какой пустяк -- всего-то разгильдяйство в терминологии. Но вот эта ветка как раз и показывает, к чему она приводит.

[g______d]

ewert в сообщении #784414 писал(а):

Только вот называть элементами гильбертова пр-ва функции на спектре нельзя: пока нет гильбертова пространства -- нет и спектра.

Если нет гильбертова пространства, то нет и операторов. Я имел в виду, что если есть абстрактное гильбертово пространство и в нём задан полный набор коммутирующих самосопряженных операторов (наблюдаемых), тогда можно построить естественный изоморфизм между этим пространством и $L_2$ на их совместном спектре с соответствующей мерой. Т. е. абстрактное гильбертово пространство превращается в пространство волновых функций в тот момент, когда мы выбираем систему измерительных приборов.

[g______d]

ewert в сообщении #784414 писал(а):

пока нет гильбертова пространства -- нет и спектра.

Иногда бывает. Например, в $C^*$-алгебрах определен спектр любого элемента. Кстати говоря, как раз в контексте данного треда бывает, что говорят об "алгебре наблюдаемых" без гильбертова пространства. И часто случается, что говорящий имеет в виду $C^*$-алгебру, но забывает, что его наблюдаемые вообще-то являются неограниченными операторами, а хорошей теории алгебр неограниченных операторов нет. Было бы здорово, если бы кто-нибудь объяснил стандартный выход из этой ситуации.

ewert в сообщении #784414 писал(а):

Так же, как и нехорошо называть собственными значениями точки непрерывного спектра. Казалось бы, какой пустяк -- всего-то разгильдяйство в терминологии. Но вот эта ветка как раз и показывает, к чему она приводит.

Да, собственные значения особенно нехорошо. Единственный стандартный термин в данном контексте -- это "generalized eigenfunction". К сожалению, термин "generalized eigenvalue", уже зарезервирован за другим (обобщенная задача на собственные значения). А в русском языке даже первый термин не очень хорошо переводить напрямую, т. к. возникает путаница с обобщенными функциями.