Задачки от Лебедя

[LebedKun]

1. Найти трёхзначное число, если известно, что квадрат числа, цифрами которого являются первая и последняя цифры этого трёхзначного числа, равен этому трёхзначному числу, а сумма цифр данного трёхзначного числа равна 4.
2. Найти трёхзначное число, если известно, что квадрат числа, цифрами которого являются первая и последняя цифры этого трёхзначного числа, равен этому трёхзначному числу, а сумма цифр данного трёхзначного числа равна 1.

[gris]

Может быть это задачки для Лебедь-куна?

Во второй задаче можно выкинуть середину. Трёхзначных чисел с суммой цифр равной единице не так уж много.

[LebedKun]

Нет. Эти задачи я придумал. Нет, нет. Я не прошу решить за меня очередную олимпиаду. Просто решил кинуть свои задачки ради интереса) Я-то знаю их решение, но хочу посмотреть как другие решат)

[gris]

А я было подумал, что они с какой-то крутой олимпиады.
Вы на хорошем пути. Придумать хорошую задачу иногда труднее, чем решить её.
Но тут как-то обычным перебором.
Так что придумывайте ещё.

[LebedKun]

Цитата:

Но тут как-то обычным перебором.

Её можно решить и аналитически)

[provincialka]

В первой задаче условие на сумму цифр - лишнее. На олимпиадную задачу не похоже.

[LebedKun]

Подсказка: нужно составить систему уравнений)

[provincialka]

Боже, зачем?

[LebedKun]

provincialka в сообщении #783716 писал(а):

В первой задаче условие на сумму цифр - лишнее.

Почему это? Не одно такое трёхзначное число, которое является квадратом числа, которое состоит из первой и последней цифры трёхзначного числа. Если бы было одно такое число, то условие о сумме цифр было бы лишним, конечно.

-- 02.11.2013, 19:33 --

provincialka в сообщении #783719 писал(а):

Боже, зачем?

Потому что в задаче не одно условие)

[Someone]

LebedKun в сообщении #783720 писал(а):

Не одно такое трёхзначное число, которое является квадратом числа, которое состоит из первой и последней цифры трёхзначного числа.

Да, аж целых два: последней цифрой может быть $0$, $1$ или $5$, и число должно быть меньше $15$, так как в противном случае число сотен квадрата больше, чем первая цифра двузначного числа. Получаем $10^2=100$ и $11^2=121$. Теперь можно и о сумме цифр подумать.

LebedKun в сообщении #783717 писал(а):

Подсказка: нужно составить систему уравнений)

Зачем?

LebedKun в сообщении #783703 писал(а):

сумма цифр данного трёхзначного числа равна 1

Существует только одно трёхзначное число, у которого сумма цифр равна нулю, поэтому все остальные условия во второй задаче лишние.

[provincialka]

Да, в первом есть еще решение. Но надо его "устранить" как-то изящнее. А вообще, задачи с двумя решениями тоже могут быть.

[LebedKun]

Someone

Верно)

Число в первой задаче - 121.
Число во второй задаче - 100.

Моё решение:

1.
1) Искомое число представлено в виде $100a+10b+c$, где $0<a\leqslant 9$, $0\leqslant b\leqslant 9$, $0\leqslant c\leqslant 9$, $a\in Z$, $b\in Z$, $c\in Z$

2) По условию $100a+10b+c = (10a+c)^2$ и $a+b+c=4$


3) Составим систему уравнений и неравенств:

$ \left\{ \begin{aligned} 100a+10b+c&=(10a+c)^2\\ a+b+c&=4\\ 0<a\leqslant 9\\ 0\leqslant b\leqslant 9\\ 0\leqslant c\leqslant 9.\\ \end{aligned} \right.$

Решение данной системы алгебраическим методом громоздкое. Поэтому будем рассуждать логически:

$a+b+c=4$, значит $a_{\min}=1$, $a_{\max}=4$, $b_{\min}=0$, $b_{\max}=4$, $c_{\min}=0$, $c_{\max}=4$.

Пусть $a=a_\min$ и $c=c_\min$, тогда $(10a+c)^2=(10\cdot 1 + 0)^2 = 100 \to 1+0+0<a+b+c$;
Пусть $a=a_\min$ и $c=c_{\min}+1$, тогда $(10a+c)^2=(10\cdot 1 + 1)^2 = 121 \to 1+2+1=a+b+c$;
Значит $b=4-a-c=4-1-1=2$

4) ${\over {abc}}=121$ - искомое число.

2.

1) Повторим пункт 1 решения предыдущей задачи
2) По условию $100a+10b+c = (10a+c)^2$ и $a+b+c=1$
3) Повторим пункт 3 решения предыдущей задачи, кроме:

$ \left\{ \begin{aligned} 100a+10b+c&=(10a+c)^2\\ a+b+c&=1\\ 0<a\leqslant 9\\ 0\leqslant b\leqslant 9\\ 0\leqslant c\leqslant 9.\\ \end{aligned} \right.$

$a+b+c=1$, значит $a_{\min}=1$, $a_{\max}=1$, значит $b+c=(a+b+c)-a=1-1=0$
$b+c=0$
$b=-c$, значит $|b|=|c|$, но т.к. $b\geqslant 0$ и $c\geqslant 0$, следовательно $b=c=0$

4) ${\over {abc}}=100$ - искомое число.

-- 02.11.2013, 21:53 --

================================================

3. Найти трёхзначное число, если оно является треугольным и все цифры этого трёхзначного числа равны.

[provincialka]

Я рассуждала не так. В первой задаче имеем $100a + 10b+c=100a^2+20ac+c^2$. Ясно, что $a^2\ge a$, поэтому равенство возможно, только если $a=1$. Кроме того, $c^2$ заканчивается на $c$, так что это число равно 0,1, 5 или 6. Возводим в квадрат числа $10,11,15,16$, на 1 начинаются только $100,121$. Получаем 2 решения. Исключать одно из них с помощью такого "сильного" утверждения, как точное указание суммы цифр - слишком расточительно.
Можно, например сказать, что оно нечетное. Или палиндром. Или еще что-нибудь.

Впрочем, трехзначных квадратов вообще немного, можно их просто перебрать.

[arseniiv]

LebedKun в сообщении #783770 писал(а):

${\over {abc}}=100$ - искомое число

$\overline{abc}=100$
\overline{abc}=100

-- Вс ноя 03, 2013 01:18:52 --

LebedKun в сообщении #783770 писал(а):

3. Найти трёхзначное число, если оно является треугольным и все цифры этого трёхзначного числа равны.

Нет интереса решать такую задачу, слишком просто и переборно.

[Someone]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #783786 писал(а):

Кроме того, $c^2$ заканчивается на $c$, так что это число равно 0,1, 5 или 6

Чёрт, про шестёрку забыл.

arseniiv в сообщении #783802 писал(а):

Нет интереса решать такую задачу, слишком просто и переборно.

Интереса, конечно, нету, поскольку тривиально без всякого перебора. Задача решается мгновенно и устно, но объяснения решения, конечно, некоторое место занимают.
Треугольное число — это

$$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Поскольку его десятичная запись состоит из трёх одинаковых цифр, то число это делится на $111=3\cdot 37$. Число $37$ простое, поэтому либо $n$, либо $n+1$ делится на $37$. Аналогично одно из этих чисел делится на $3$.
Заметим, что должно быть $\frac{n(n+1)}2<1000$, поэтому $n<45$, ибо $45^2=2025>2000$, откуда $\frac{46\cdot 46}2>\frac{45^2}2>1000$.
Среди натуральных чисел, меньших $45$, на $37$ делится только $37$.
Вариант $n=37$, $n+1=38$ не годится, так как ни одно из этих чисел не делится на $3$, поэтому остаётся только $n=36$, $n+1=37$. Следовательно, искомое число равно

$$\frac{36\cdot 37}2=18\cdot 37=6\cdot 3\cdot 37=6\cdot 111=666.$$