Так нет там такого уравнения. Смотрите. Если поверхность имеет уравнение
![$\[z = f(x,y)\]$ $\[z = f(x,y)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/7/c77f774429c98a9f23e311b68876d42982.png)
, то асимптотическая кривая будет задаваться уравнением
![$\[\partial _{yy}^2f \cdot d{y^2} + 2\partial _{xy}^2f \cdot dxdy + \partial _{xx}^2f \cdot d{x^2} = 0\]$ $\[\partial _{yy}^2f \cdot d{y^2} + 2\partial _{xy}^2f \cdot dxdy + \partial _{xx}^2f \cdot d{x^2} = 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/7/2b7e7a67d3384e775826073e5062be8882.png)
у нас
![$\[z = a\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}\]$ $\[z = a\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/dece7dd002d0178fe3fd8d1c929ef14782.png)
![$\[\begin{array}{l}
\partial _{yy}^2f = 2a\frac{1}{{{x^2}}}\\
2\partial _{xy}^2f = - 8a\frac{y}{{{x^3}}}\\
\partial _{xx}^2f = 6a\frac{{{y^2}}}{{{x^4}}}
\end{array}\]$ $\[\begin{array}{l}
\partial _{yy}^2f = 2a\frac{1}{{{x^2}}}\\
2\partial _{xy}^2f = - 8a\frac{y}{{{x^3}}}\\
\partial _{xx}^2f = 6a\frac{{{y^2}}}{{{x^4}}}
\end{array}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/5/a7517db7ffc6f47cf61f188b24b57bb282.png)
Сразу сделаем замену
![$\[p = \frac{{dy}}{{dx}}\]$ $\[p = \frac{{dy}}{{dx}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/0/8d083b08b4b8d66391c9884503bd1f2382.png)
Уравнение примет вид
![$\[\partial _{yy}^2f \cdot {p^2} + 2\partial _{xy}^2f \cdot p + \partial _{xx}^2f = 0\]$ $\[\partial _{yy}^2f \cdot {p^2} + 2\partial _{xy}^2f \cdot p + \partial _{xx}^2f = 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/6741622d93ccfad5f0d662c47238d2d782.png)
![$\[\frac{1}{{{x^2}}} \cdot {p^2} - 4\frac{y}{{{x^3}}} \cdot p + 3\frac{{{y^2}}}{{{x^4}}} = 0\]$ $\[\frac{1}{{{x^2}}} \cdot {p^2} - 4\frac{y}{{{x^3}}} \cdot p + 3\frac{{{y^2}}}{{{x^4}}} = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/6/5466e435e30819450ecf676f40942f9082.png)
Обычное квадратное уравнение.
![$\[\Delta = 16\frac{{{y^2}}}{{{x^6}}} - 12\frac{{{y^2}}}{{{x^6}}} = 4\frac{{{y^2}}}{{{x^6}}}\]$ $\[\Delta = 16\frac{{{y^2}}}{{{x^6}}} - 12\frac{{{y^2}}}{{{x^6}}} = 4\frac{{{y^2}}}{{{x^6}}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/2/932f09bb96be857be5ddd6b2767f952b82.png)
![$\[p = \frac{{4\frac{y}{{{x^3}}} \pm 2\frac{y}{{{x^3}}}}}{{\frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{{{x^2}}}{2}(4\frac{y}{{{x^3}}} \pm 2\frac{y}{{{x^3}}})\]$ $\[p = \frac{{4\frac{y}{{{x^3}}} \pm 2\frac{y}{{{x^3}}}}}{{\frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{{{x^2}}}{2}(4\frac{y}{{{x^3}}} \pm 2\frac{y}{{{x^3}}})\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/2/7027992dd37d7e4c691c31231077a69e82.png)
![$\[{p_1} = 3\frac{y}{x}\]$ $\[{p_1} = 3\frac{y}{x}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/9/429e6c2ebc06863028e978e880330dbf82.png)
и
![$\[{p_2} = \frac{y}{x}\]$ $\[{p_2} = \frac{y}{x}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/a/99a2783949eb6a73fa22bdfabf020c0682.png)
Или, возвращаясь к прошлым обозначениям
![$\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3\frac{y}{x}\]$ $\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3\frac{y}{x}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/6/f66217481d2ee7c8438bdf5f0805a56d82.png)
и
![$\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{y}{x}\]$ $\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{y}{x}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/6/606be593eae731234726b2984b53bc3082.png)
Решая эти простенькие уравнения имеет два семейства (ваш ответ)
![$\[\begin{array}{l}
y = {C_1}{x^3}\\
y = {C_2}x
\end{array}\]$ $\[\begin{array}{l}
y = {C_1}{x^3}\\
y = {C_2}x
\end{array}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/a/01a097397ba65e396a7999ddaeedc2f782.png)
P.S.Вот говорил же, что уравнение неверное.