Дифф.Ур.2-го порядка.

[songbird]

Добрый вечер, товарищи. Такой вопрос у меня:
В учебнике, которым я пользуюсь, приводятся виды уравнений второго порядка, допускающие понижение степени.
Автор предлагает такое решение:
Дано уравнения вида $y''=f(y,y')$.Уравнение не содержит $x$. Вводим новую функцию $z(y)$, полагая $y'=z$.
Там дальше все тривиально, уравнения с помощью замены приводится к уравнению 1 порядка. Но у меня вопрос вот в чем: Почему $y'$ должна обязательно выражаться через какую-либо функцию с аргументом $y$? Если бы через $x$ выражалась , то еще понятно почему , так как производная от функции $y$ по $x$ - это есть функция от аргумента $x$.
Прошу помощи.

[provincialka]

Мы же хотим упростить уравнение. Как его решать, если в нем будут и $x$, и $y$, и $z$? Одно уравнение на две функции?

[Otta]

songbird
А почему бы нет? Хоть через $u$, которого вообще нет в этом списке. Пусть есть некоторая $u=u(x)$. Если удастся найти зависимость $z=z(u)$, то зависимость $z$ от $x$ тоже будет ясна: $z=z(u(x))$.

Можно понимать себе иначе: раз $u=u(x)$, то (при соблюдении некоторых условий) существует обратное $x=x(u)$. Но тогда всякую функцию $z=z(x)$ удастся записать в виде $z=z(x(u))$.

[songbird]

Otta,
спасибо,разобрался.
provincialka
не совсем понял, в каком уравнении будут $x$,$y$,$z$?

[provincialka]

В вашем. Вот, например, вы полагаете $y'=z(x), y'' =z'$, уравнение приобретает вид $z'=f(y,z)$, причем производная берется по $x$, так что $x$ тоже по сути присутствует. Например, так: $dz=f(y,z)dx$. И как такое решить?

[songbird]

provincialka
Честно говоря, даже не знаю как.Вот если брать замену с $y'=z(y)$, то тогда ничего сложного.А вот с заменой $y'=z(x)$ пока ничего не надумал.Может ,подскажите?

[provincialka]

Вы свой вопрос помните?

songbird в сообщении #782015 писал(а):

Но у меня вопрос вот в чем: Почему $y'$ должна обязательно выражаться через какую-либо функцию с аргументом $y$? Если бы через $x$ выражалась , то еще понятно почему , так как производная от функции $y$ по $x$ - это есть функция от аргумента $x$.

Я и ответила, что так делать нельзя, нельзя считать $z$ функцией от $x$, так как в уравнении будут 3 переменных вместо 2.

[songbird]

provincialka
Аа, извиняюсь, в самом начале я неправильно поставил вопрос. Хотел узнать, почему $y'$ вообще может как-то выражаться через y(То есть может ли вообще существовать зависимость $y'=z(y)$).
Otta, видно, каким-то образом все-таки понял в чем у меня была проблема.

[provincialka]

songbird в сообщении #782621 писал(а):

Otta, видно, каким-то образом все-таки понял

(Оффтоп)

поняла. Она - дама

[Otta]

(Оффтоп)

... и умеют притвориться мужыком. (с)