Определенный интеграл

[randy]

$\int (-2x-4)^2dx=-0.5\int (-2x-4)^2d(-2x-4)=-0.5\frac{(-2x-4)^3}{3}$
найдем определенный интеграл с границами $x=0..2$
$-0.5\frac {(-2(2-0)-4)^3}{3}=-1/6\cdot 8^3=85,3$
а в вольфраме показывает 74,6. В чем дело?

[ewert]

randy в сообщении #782263 писал(а):

В чем дело?

Ноль не так подставили.

[gris]

Дело в том, что ТС неправильно трактует формулу Ньютона-Лейбница.
Он делает так: $\int\limits_a^b=F(b-a)$, а надо $\int\limits_a^b=F(b)-F(a)$.

После увидания слов ewerta. А Вы знаете, я вдруг поменял свои слова. И было написал "при интегрировании констант". Потом обрадовался, увидев подтверждение. Но ведь Мы можем написать, что для $f(x)=5$ первообразная равна $F(x)=5x+2$. И метод перестанет работать
Лучше уж всегда и везде пользоваться правильной формулой. Вот.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #782278 писал(а):

Впрочем, для линейных первообразных метод работает

а уж как замечательно он работает для постоянных!

[gris]

Кстати, ТС оказался очень близко к удивительно красивой теореме из матана: Для каждого берущегося интеграла и значений пределов интегрирования существует первообразная $F$ такая, что значение интеграла можно посчитать именно по формуле $F(b-a)$.

[ИСН]

Для каждого берущегося интеграла и вообще любого вопроса существует первообразная $F$ такая, что ответ на вопрос равен $F(b-a)$.

[gris]

Если подынтегральная функция $\arctg x$, а вопрос: "чему равно $ \lim\limits_{x\to 0+}\ctg x$?
Нет, тут не получится так уж сильно обобщать.

[provincialka]

$ \lim\limits_{x\to 0+}\ctg x=\tg(\frac{\pi}{2}-0)$.

[gris]

Ну да... Хотя имелась в виду первообразная от подынтегральной функции. Хотя вдруг первообразная арктангенса и есть тангенс?