Теорема.Определитель Вронского.

[songbird]

Всем добрый день.
Разбираю дифференциальные уравнения и остановился на такой теореме:
Если решения $y_1(x)$ и $y_2(x)$ уравнения $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ линейно независимы на $(a,b)$,то определитель Вронского,составленный из них ,отличен от нуля на этом интервале.
Доказательство:
Допустим обратное ,т.е предположим, что существует точка $x_0\in(a,b)$, в которой определитель Вронского $W(x_0)=0$.Составим систему уравнений:
$\alpha_1y_1(x_0)+\alpha_2y_2(x_0)=0$
$\alpha_1y'_1(x_0)+\alpha_2y'_2(x_0)=0$
в которой $\alpha1$ и $\alpha2$ - неизвестные числа.Так как определитель этой системы $W(x_0)=0$, то система уравнений имеет не нулевое решение относительно $\alpha1$ и $\alpha2$(Хотя бы одно из них отлично от нуля).
Рассмотрим функцию:
$y(x)=\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)$ - где $\alpha_1,\alpha_2$ - ненулевое решение системы.
Эта функция является решением уравнения:
$y''+p(x)y'+q(x)y=0$
Кроме того, поскольку $\alpha_1,\alpha_2$ - решение системы, то функция удовлетворяет нулевым начальным условиям $y|_{x=x_0}=0,y'|_{x=x_0}=0$.
Таким начальным условиям,очевидно, удовлетворяет решение $y(x)=0$.
Там дальше продолжается теорема, но я остановился на этом пункте, и мне никак не очевидно данное следствие.Никак не пойму почему это так. Прошу помощи , господа.

[Otta]

Вы нашли ненулевой набор $\alpha_1,\alpha_2$, при котором выполнено условие

songbird в сообщении #781745 писал(а):

$\alpha_1y_1(x_0)+\alpha_2y_2(x_0)=0$
$\alpha_1y'_1(x_0)+\alpha_2y'_2(x_0)=0$

Кроме того, очевидно, что $y(x)=\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)$ - решение уравнения.
Более того, это решение задачи Коши с начальным условием $y(x_0)=y'(x_0)=0$. Но такая задача Коши имеет единственное решение - $y(x)=0$.
То есть $\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)=0$, где набор $\alpha_1,\alpha_2$ - ненулевой. Противоречие с условием теоремы, получили линейную зависимость $y_1(x)$ и $y_2(x)$.

[songbird]

Вот я как раз и не пойму - почему это решение $y(x)=0$?. То есть на все промежутке $(a,b)$ функция равна $0$.

[Otta]

songbird
Теорема о единственности решения задачи Коши была?
$y(x)=0$ является решением уравнения? а задачи Коши с нулевыми нач. условиями?
Очевидно, является. Или неочевидно?

Дальше. $y(x)=\alpha_1 y_1(x)+\alpha_2 y_2(x)$ является решением уравнения? А той же задачи Коши?

[songbird]

Да, да, теорема такая была как раз. Но почему вот именно $y(x)=0$? Разве не может быть просто функции какой-нибудь $y = f_1(x)$,которая удовлетворяет нашим начальным условиям?

[Otta]

Все может быть. Но Вы на второй вопрос не ответили.

Otta в сообщении #781757 писал(а):

$y(x)=0$ является решением уравнения? а задачи Коши с нулевыми нач. условиями?

-- 29.10.2013, 17:10 --

songbird
Так да, или нет? У Вас с чем проблемы - проверить, является ли указанная функция решением уравнения или решением задачи Коши?

[songbird]

Все, понял. Так как $y(x)=0$ подходит под наши начальные условия ,а так же является решением диф.ур нашего.Ну а по теореме Коши оно единственно(решение). Тогда уж точно $y(x)=0$. Правильно я мыслю?

-- 29.10.2013, 16:16 --

Да у меня просто теорема, и я на слове "очевидно" застрял. Но вроде бы разобрался. Функция $y(x)=0$ подходит же под наши условия и является решением ну и по Теореме Коши - она единственна.

[Otta]

songbird в сообщении #781766 писал(а):

Правильно я мыслю?

Правильно.

[songbird]

Спасибо) Наконец-то разобрался)