Вероятность того, что треугольник равнобедренный

[blueboar2]

Задача следующая: В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он равнобедренный?

Я решал примерно так. Зафиксировал первую точку в самой правой точке окружности. Я посчитал, что первую точку можно выбирать произвольно, так как любой треугольник можно повернуть на нужный угол, что первая точка будет там, где надо. (Правильно это или нет? И если да, то как объяснить попонятнее, а то у меня слишком сложно). И нужно ли тут учитывать, какая точка окажется первой? Я задал что первая точка это та, из которой у равнобедренного треугольника исходят две равных стороны. Можно ли так сказать? Или надо рассматривать оба (три?) случая?

Далее определил, что если первая точка будет самой правой точкой окружности, то две других точки будут иметь одинаковые координаты x, но противоположные y (или, что то же самое, углы фи, и 360-фи). Тут ничего сложного. Я перешел к полярным координатам, и нашел расстояния от первой точки до второй и от первой до третьей и приравнял.

Следовательно, так как координат фи бесконечность (от 0 до 360), каждая из которых дает нам равнобедренный треугольник, а пар координат (всего треугольников) бесконечность в квадрате (то есть, бесконечность более высокого порядка), то когда мы делим их друг на друга, получаем вероятность равную нулю.

Правильно ли такое решение?

-- 03.09.2013, 18:55 --

Либо можно как-то еще подумать над тем, что "если мы наугад выберем две точки, и проведем через них первую сторону нашего треугольника, то в случае равнобедренного треугольника третья точка (имеющая две координаты и два ограничения - находиться на окружности и ограничение на длину) определяется однозначно (ну, по крайней мере конечным числом способов, если разбирать, какая наша сторона, в основании или нет, и сколько решений могут иметь уравнения связи, они ведь с квадратами, но все равно, конечным числом). Таким образом, число равнобедренных треугольников (число различных комбинаций двух точек) есть бесконечность более низкого порядка чем общее число треугольников (число различных комбинаций трех точек). То есть, вероятность равна нулю".

Но это решение, по-моему, тоже с какой-то ошибкой. Хотя я не могу понять какой.

[gris]

Вероятность, конечно, равна нулю. Слишком уж сильное условие. Попробуйте заменить его на остроугольность треугольника, например.
Я бы вместо сторон рассматривал дуги окружности.
Идея доказательства хороша, но надо построже.

[_hum_]

blueboar2 в сообщении #760160 писал(а):

Задача следующая: В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он равнобедренный?

Знатоки, объясните, почему до сих пор используются такие корявые формулировки задач (без конкретного указания механизма "наудачу вписывается"), ведь есть же показательный парадокс Бертрана?

[--mS--]

Разумеется, одну точку - например, первую выбранную наугад, - можно зафиксировать. Просто потому, что куда бы она ни упала (при любом "фиксированном" её значении), "доля" (вероятность) тех случаев, когда треугольник будет такой или сякой, одна и та же.

Вот только ситуаций, конечно, надо рассматривать три. Хотя бы две.

blueboar2 в сообщении #760160 писал(а):

бесконечность в квадрате (то есть, бесконечность более высокого порядка), то когда мы делим их друг на друга, получаем вероятность равную нулю.

Как рассуждение на пальцах, вполне пригодно. Математическая же корректность у рассуждения никакая. У бесконечностей нет никаких порядков. "Порядки" у бесконечностей как-то с пределами ещё можно связать, а пределов в этой задаче никаких нет.

Используйте геометрическое определение вероятности: первая выбранная наугад точка (пусть $A$) фиксирована, вторая и третья $B$ и $C$ независимо и наугад выбираются на отрезке $[0, \,2\pi]$. Пусть $X$ и $Y$ - расстояния по часовой стрелке от $A$ до $B$ и от $A$ до $C$. Пара $(X,\,Y)$ пробегает квадрат $[0,\,2\pi]\times[0,\,2\pi]$. В этом квадрате г.м.т., при которых треугольник будет равнобедренным, это несколько отрезков. А именно, $X=2\pi-Y$, или $X=Y-X$, или $Y=X-Y$, или $2\pi-Y-Y-X$, или, наконец, $2\pi-X=X-Y$. Вероятность любого события есть отношение площадей (мер Лебега в $\mathbb R^2$). "Площадь" этих пяти отрезков нулевая. Вуаля.

-- Вт сен 03, 2013 21:30:58 --

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #760178 писал(а):

Знатоки, объясните, почему до сих пор используются такие корявые формулировки задач

Потому что в вузах нашей необъятной страны кто угодно преподаёт что угодно. Алгебраисты - тервер, терверщики - матан, а чаще всего ни те и ни другие - всё, что дадут.

[blueboar2]

Это все хорошо, но еще бы знать почему именно эти углы дают равнобедренный треугольник, и почему 5 - это все возможные комбинации

[Lukum]

Задача, очевидно, эквивалетна следующей: найти вероятность того, что два случайных числа на отрезке равны. Очевидный ответ 0.

[blueboar2]

Все, спасибо, уже догадался. Мой вариант не прокатил, напишу ваш

[Lukum]

_hum_ в сообщении #760178 писал(а):

blueboar2 в сообщении #760160 писал(а):

Задача следующая: В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он равнобедренный?

Знатоки, объясните, почему до сих пор используются такие корявые формулировки задач (без конкретного указания механизма "наудачу вписывается"), ведь есть же показательный парадокс Бертрана?

Нормальная формулировка, не корявая.
Парадокс Бертрана не является парадоксом, там неверно посчитаны вариант 2 и 3.
Правильный ответ $\frac1 3$

[Xaositect]

Lukum в сообщении #781632 писал(а):

Парадокс Бертрана не является парадоксом, там неверно посчитаны вариант 2 и 3.

Все там верно посчитано. Парадокс Бертрана показывает, что слова "выбрана наудачу" могут пониматься по-разному и до тех пор, пока строго не задана вероятностная мера, задача смысла не имеет.

[Lukum]

"слова "выбрана наудачу" могут пониматься по-разному" - согласен до некоторой степени.
Давайте возьмем второй вариант. Корректно ли там выбирает хорда?

-- 29.10.2013, 11:31 --

PS Подвопрос: выберем наудачу точку из отрезка, как следует корректно понимать это?

-- 29.10.2013, 11:37 --

Подвопрос2: выберем наудачу сторону монеты, как следует корректно понимать это?

[Shadow]

Lukum, "выбрана наудачу" точка внутри круга. Какой алгоритм предложите для определения координат точки?

[Lukum]

Предлагаю начать с этого:
"Подвопрос2: выберем наудачу сторону монеты, как следует корректно понимать это?"

[Shadow]

А я предлагаю начать с этого:
1. Выберем наудачу точку на окружности.
2. Выберем наудачу точку внутри круга.
Реализовать алгоритм нахождения координат.
Потом можно думать что такое "случайная хорда"

[Lukum]

Правильная постановка вопроса, имхо.
Но давайте разберемся с Подвопрос2.
Скеушаем слона по кусочку

[provincialka]

Lukum, вы снова захватываете тему и начинаете бесконечную дискуссию? Откройте свою тему и обсуждайте там что хотите.