Бутылка Клейна + проективная плоскость = ?

[bayak]

Что получится при склейке (по границе дыр) бутылки Клейна и проективной плоскости?

[Munin]

Насколько я понимаю, вот это и будет: бутылка Клейна + проективная плоскость. Можно бутылку Клейна разложить в две проективные плоскости, тогда будет сфера с тремя приклеенными проективными плоскостями.

[bayak]

Хорошо, пусть краткого названия нет, а что значит разложение бутылки Клейна в две проективные плоскости? Мне казалось, что если склеить две проективные плоскости, то получится сфера, а если склеить две бутылки Клейна, то получится тор. Или я не прав?

[provincialka]

С чего бы это? Обе исходные поверхности - односторонние.

[bayak]

provincialka в сообщении #781518 писал(а):

С чего бы это? Обе исходные поверхности - односторонние.

А что, есть запрет?

[provincialka]

Так сфера двусторонняя. И тор тоже. Если вы вырезаете только маленький кружок, гомеоморфный кругу, количество сторон не должно измениться.

Другое дело, если вы режете исходные поверхности на какие-нибудь листы мебиуса... да и то сомнительно.

[bayak]

provincialka, почему при склейке по границе круга не может поменяться ориентируемость многообразия?

[provincialka]

По-моему, снова проективная плоскость, но я не уверена. Рассуждала на основе моделей того и другого, склеенных из квадрата. Если склеить их по сонаправленной паре сторон, получим модель проективной плоскости.

-- 28.10.2013, 22:51 --

bayak в сообщении #781535 писал(а):

provincialka, почему при склейке по границе круга не может поменяться ориентируемость многообразия?

Не знаю. Просто неоткуда взяться второй стороне.

[mihailm]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #781532 писал(а):

...Если вы вырезаете только маленький кружок, гомеоморфный кругу...

трудно вырезать маленький кружочек не гомеоморфный кругу)

[provincialka]

mihailm в сообщении #781537 писал(а):

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #781532 писал(а):

...Если вы вырезаете только маленький кружок, гомеоморфный кругу...

трудно вырезать маленький кружочек не гомеоморфный кругу)

(Оффтоп)

А большой?

[Munin]

bayak
В Википедии написано

Цитата:

По известной топологической классификационной теореме, любое ориентируемое двумерное многообразие имеет вид сферы с несколькими приклеенными ручками.

Добавлю: а неориентируемое - сферы с несколькими приклеенными проективными плоскостями.

Сама теорема что-то в Википедии отсутствует (по крайней мере, в русскоязычной), но изложена во всех элементарных учебниках по топологии. Что там самое простое у Фоменко? Вот эту книжку открывайте и читайте.

На рисунках проективные плоскости (с вырезанным кругом) изображаются в виде таких кружочков с радиусами.

-- 29.10.2013 00:07:39 --

bayak в сообщении #781513 писал(а):

Мне казалось, что если склеить две проективные плоскости, то получится сфера

Нет, бутылка Клейна.

bayak в сообщении #781513 писал(а):

а если склеить две бутылки Клейна, то получится тор

Тоже нет, две бутылки Клейна.

-- 29.10.2013 00:20:03 --

bayak в сообщении #781535 писал(а):

provincialka, почему при склейке по границе круга не может поменяться ориентируемость многообразия?

Если вы склеиваете две неориентируемые, то каждая из них останется неориентируемой сама по себе.

Если вы склеиваете две ориентируемые, то каждая из них останется ориентируемой сама по себе.

Если вы склеиваете ориентируемую и неориентируемую, то вы можете взять репер на ориентируемой поверхности, перенести его на неориентируемую, там развернуть, и перенести обратно. То есть, он развернётся. Результат в целом - неориентируемая поверхность.

То есть, ориентируемость можно потерять, но нельзя восстановить. Таблица:
$+\#+\to +$
$+\#-\to -$
$-\#-\to -$

[provincialka]

Проективная плоскость разбивается на круг и лист Мебиуса. Поэтому, вместо того, чтобы говорить "сфера с приклеенной проективной плоскостью" можно говорить "сфера с приклеенным листом Мебиуса", так как-то привычнее.
Соответственно, я привыкла считать, что бутылка Клейна - это два склееных листа Мебиуса (что равносильно двум проективным, склеенным по вырезанному кругу)

В общем, действительно, получаются 3 листа мебиуса, заклеивающие "дырки" на сфере.

А вот что получится, если вырезать кружок из бутылки Клейна? Поверхность с краем и с одной стороной, как бы ее представить попроще? Пока получился цилиндр,свернутый как тор, но приклееный только частью края, зато "впереворот". Такой край как-то трудно представить приклееным к сфере. Впрочем, оно и неудивительно, все это не вкладывается в трехмерное пространство.

[Munin]

Я уже в двух учебниках нашёл.
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. § 11 "Двумерные поверхности", стр. 154.
Новиков С.П. Топология. Гл. 4 § 4 "Классификационные проблемы теории многообразий... Многообразия гомотопического типа сферы...", стр. 230.

-- 29.10.2013 03:31:41 --

provincialka
В этой области надо изучить побольше фактов, тогда будет легче с представлением.

Сфера в смысле "связной суммы" вообще единица группы, так что можно не различать проективную плоскость и проективную плоскость, приклеенную к сфере. Также незачем различать проективную плоскость (с вырезанным диском) и лист Мёбиуса; и проективную плоскость, и лист Мёбиуса с краем, заклеенным диском. Бутылка Клейна есть два листа Мёбиуса, вклеенные в сферу, и значит, вырезание дырки в бутылке равнозначно вырезанию дырки в этой сфере - довольно скучная операция.

А вот чего я не сообразил, это то, что две склеенные бутылки Клейна - это то же самое, что бутылка Клейна с ручкой. За счёт любой проективной плоскости, ручку можно превратить в "ручку Клейна" и обратно. Это наглядно нарисовано у Фоменко в книге "Наглядная геометрия и топология", впрочем, и у Новикова есть аналогичные картинки.

[g______d]

Цитата:

А вот что получится, если вырезать кружок из бутылки Клейна? Поверхность с краем и с одной стороной, как бы ее представить попроще? Пока получился цилиндр,свернутый как тор, но приклееный только частью края, зато "впереворот". Такой край как-то трудно представить приклееным к сфере. Впрочем, оно и неудивительно, все это не вкладывается в трехмерное пространство.

По-моему, как раз вкладывается. Чтобы приклеить один конец цилиндра к другому с внутренней стороны, нужно в него залезть сбоку, поэтому бутылка Клейна самопересекается. Но если сбоку дырка, можно пролезть в нее.

Можно даже из куска шланга сделать. Прорезать в нем дырку, засунуть в нее один из концов и вытащить наружу так, чтобы два изначальных конца совместились.

[Someone]

Есть же классификация компактных поверхностей. В частности, проективная плоскость — это сфера, в которую вклеен один лист Мёбиуса, бутылка Клейна — сфера с двумя листами Мёбиуса. Если ещё один лист Мёбиуса вклеить, получается новая поверхность — сфера с тремя листами Мёбиуса.
Вклеивание ручки в неориентируемую поверхность равносильно вклеиванию двух листов Мёбиуса, так что сферу с тремя листами Мёбиуса можно получить также вклеиванием листа Мёбиуса в тор или в бутылку Клейна, или вклеиванием ручки в проективную плоскость.