Правильно ли сделана замена переменных?

[Nimza]

Пусть $f(\zeta,\zeta')$ --- функция, заданная на торе

$$ T^2 = S^1 \times S^1 = \{ (\zeta,\zeta') \in \mathbb C^2 \mid |\zeta| = |\zeta'| = 1 \}, $$

причём $f(\zeta,\zeta') = f(-\zeta',-\zeta)$, а функция $g(z)$ определена на круге $\{ z \in \mathbb C \mid |z| \leqslant 2 \}$ правилом $g(\zeta-\zeta')=f(\zeta,\zeta')$. Тогда для вычисления интеграла

$$ \int\limits_{|z| \leqslant 2} g(z) \, dx dy, \quad z = x+iy, $$

можно сделать замену переменных $z = \zeta - \zeta'$. Чтобы вычислить Якобиан, представим $\zeta =\exp(i\varphi)$, $\zeta' = \exp(i\psi)$, тогда $\frac{D(x,y)}{D(\varphi,\psi)} = |\sin(\varphi-\psi)| = \frac 1 2 |\zeta \bar \zeta' - \zeta' \bar \zeta|$. Также заметим, что одной и той же точке $z$ с $0<|z|<2$ соответствуют две точки $(\zeta,\zeta')$ и $(-\zeta',-\zeta)$, поэтому в новом интеграле нужно поставить множитель $\frac 1 2$:

$$ \int\limits_{|z| \leqslant 2} g(z) \, dx dy = \frac 1 4 \int\limits_{T^2} f(\zeta,\zeta') |\zeta \bar \zeta' - \zeta' \bar \zeta| \, \frac{d\zeta}{i\zeta} \frac{d\zeta'}{i\zeta'}. $$

Всё ли сделано верно? Множитель $\frac 1 2$ появился немного недообоснованно, как мне кажется.