Свойство непрерывной на отрезке функции.

[ewert]

Чего тут думать-то? Достаточно просто выбирать высоты шапокек, уменьшающиеся по мере уменьшения их длин. Ну, скажем, равные длинам.

А если потребовать очень быстрого уменьшения высот, то можно при желании и бесконечную гладкость обеспечить.

[Nemiroff]

Собс-но, про "погуглить".
http://mathoverflow.net/questions/24034 ... s-function

-- Пн окт 28, 2013 11:12:10 --

ewert в сообщении #781203 писал(а):

А если потребовать очень быстрого уменьшения высот, то можно при желании и бесконечную гладкость обеспечить.

Угу.

[gris]

Спасибо.

[Someone]

Достаточно, чтобы максимумы стремились к нулю вместе с длиной интервалов. Возьмите на интервале $(\alpha,\beta)$ "шапочку" $(x-\alpha)(\beta-x)$.

[ewert]

Someone в сообщении #781207 писал(а):

Достаточно, чтобы максимумы стремились к нулю вместе с длиной интервалов.

Единственный нюанс -- чтобы это формально доказать, придётся хоть чуть-чуть, но повозиться (то ли с явным оцениванием, то ли с представлением в виде ряда). Проще выбрать все шапочки равномерно липшицевыми; тогда липшицевость достаточно очевидна и для всей функции.

[patzer2097]

gris в сообщении #781154 писал(а):

Доказать, что для функции, непрерывной на отрезке и не постоянной ни на одном интервале, количество нулей не более, чем счётно.

На самом деле, есть (непостоянные) непрерывные функции, принимающие ВСЕ свои значения континуум раз, например, проекция кривой Пеано на ось Ox

[gris]

Вчера совсем забыл, как на форуме уже обсуждалась эта более сложная задача, которая мою сразу же и решает. Или не догадался. Вот же они, непрерывные функции, что хотят, то и делают.