функция, производная от которой равна самой функции

[antonk]

Подскажите пожалуйста, существуют ли функции,
производный от которых во всех точках равны значениям
самих функций и какой их общий вид
Т.е. существует ли решение уравнения
$df(x) = f(x) \cdot dx$
$f(x) = \int f(x) \cdot dx$

Подскажите пожалуйста, какие действия предпринять,
чтобы найти общий вид функции f(x).
Заранее благодарен.

[ИСН]

Как бы это сказать, чтобы без лишней информации... Но ведь, наверное, хотя бы одну такую функцию Вы знаете?

[gris]

Так Вы же уравнение написали $df=f\;dx$. Оно хорошее. Частное решение сразу видно: тождественный нуль. Вот и решайте его.

[antonk]

Вы наверное имеете ввиду $f(x) = 0$ .
Но мне нужно найти общий вид такой функции, если указанный выше случай не единственый

[ИСН]

Нет, я не имел в виду $f(x) = 0$. Нетривиальную одну функцию такую почти все видели. Не знаете?

[antonk]

Тогда наверное Вы имели ввиду функцию
$f(x) = e^x$
Это наверное единственная функция, или нет ?

[miflin]

Может проще будет вспомнить через анекдот с бородой.
- А вот я тебя продифференцирую!
- А я не боюсь! Я ведь ...

[arseniiv]

antonk в сообщении #780989 писал(а):

Это наверное единственная функция, или нет ?

А вы теперь поищите решения в виде $g(x)e^x$ — так можно любую функцию представить. Подставьте в уравнение и…

[ИСН]

Ага, так-то лучше. Это единственная, но есть ещё. Такие же, только другие.