Предел функции

[Limit79]

Здравствуйте!

Прощу помощи в решение следующего примера:

$$\lim\limits_{ x \to 1} \frac{\sqrt{x^2-3x+3}-1}{\sin(\pi x)}$$

Пробовал заменить $a=x-1$ -- ни к чему хорошему не привело, впрочем, как и домножение на сопряженное.

Может, тут надо что-то с синусом делать, но что?

Спасибо!

[mihailm]

Замена удачная - доведите до конца или покажите

[Limit79]

mihailm

$$\sin(\pi \cdot (a+1)) = - \sin(\pi a)$$

Ведь синус никуда не денется?

-- 26.10.2013, 00:27 --

mihailm

$$\lim\limits_{ a \to 0} \frac{1- \sqrt{a^2-a+1}}{\sin(\pi a)}$$

-- 26.10.2013, 00:33 --

И дальше по эквивалентности:

$$\lim\limits_{ a \to 0} \frac{1- \sqrt{a^2-a+1}}{\pi a}$$

[VPro]

Теперь умножаем числитель и знаменатель на $1+\sqrt{a^2-a+1}$

[Limit79]

VPro
Ага, дальше понял. Не знал куда синус деть - вылетела из головы экивалентность...

mihailm
VPro
Спасибо, господа!

[SpBTimes]

А такая эквивалентность, как $(1 + x)^s - 1 \sim sx$ неизвестна?

-- Сб окт 26, 2013 10:09:22 --

При $x \to 0$, of course

[bot]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #780297 писал(а):

А такая эквивалентность, как $(1 + x)^s - 1 \sim sx$ неизвестна? При $x \to 0$, of course

и для любого $s\in \mathbb R$ of course.
Ну или хотя бы при $\dfrac1s\in \mathbb N$

[Otta]

(Оффтоп)

bot в сообщении #780642 писал(а):

и для любого $s\in \mathbb R$ of course.

не равного нулю.

[bot]

(Оффтоп)

Деление в определении o малого устранимо:
$f=o(g)$ при $x\to x_0$, если существует бесконечно малая $\alpha$ при $x\to x_0$, такая что в некоторой окрестности $x_0$ справедливо равенство $f(x)=\alpha g(x)$

[Otta]

bot

(Оффтоп)

Дык не о малое же ж, эквивалентность. Там, правда, тоже устранимо... Ладно, хай по-Вашему, при всех. Согласная я, ноль эквивалентен нулю. Содержательно.

[bot]

(Оффтоп)

Ну дык забыл написать $f\sim g$, если $f=g+o(g)$

[Otta]

(Оффтоп)

Да необязательно. Можно "если найдется $\beta$, такая что $f(x)=\beta(x)g(x)$, и $\beta(x)\to 1$, при $x\to \text{куда надо}$.

[bot]

(Оффтоп)

Да, так проще.