Пользуясь определением предела последовательности доказать

[rodo_by]

Пользуясь определением предела последовательности доказать

$\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{2n^2-1}=0$

******************
Рассуждения

что равносильно найти решение

$|\frac{3n+1}{2n^2-1}-0|<\varepsilon$

при натуральных n дробь положительна, поэтому модуль можно убрать,
а что делать с неравенством

$\frac{3n+1}{2n^2-1}<\varepsilon$

как его решить?

Я должен решать квадратное уравнение?

А если я буду искать N при которых это неравенство верно, рассуждая так:

Т.к. $\frac{3n+1}{2n^2-1}<\varepsilon$, то и

$\frac{1}{2n^2-1}<\varepsilon$, а также

$\frac{1}{2n^2}<\varepsilon$

откуда

$N > \sqrt{\frac{1}{2\cdot\varepsilon}}$

Ведь моя задача не обязательно найти наименьшее N, а одно из (при котором будет выполняться неравенство).

Я ошибаюсь?

[provincialka]

Не обязательно решать неравенство точно. Оцените левую часть сверху каким-нибудь более простым выражением.
Оценка снизу, которую вы применяете, не подойдет.

[raenkaa]

можно записать по теореме предел частного равен частному пределов,т.к. они существуют и не равны нулю,а потом по теореме о сумме пределов,т.к. они существуют и конечные.

[provincialka]

raenkaa в сообщении #779847 писал(а):

можно записать по теореме предел частного равен частному пределов,т.к. они существуют и не равны нулю,а потом по теореме о сумме пределов,т.к. они существуют и конечные.

Нельзя записать. Здесь неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$.

[rodo_by]

provincialka в сообщении #779836 писал(а):

Не обязательно решать неравенство точно. Оцените левую часть сверху каким-нибудь более простым выражением.
Оценка снизу, которую вы применяете, не подойдет.

Понял ошибочность своих рассуждений (у меня B<e и B<A, отсюда не следует, что и A<e; надо бы так A<B<e, тогда очевидно, что и A<e).

Что если так?

$\frac{3n+1}{2n^2-1} < \frac{3n+1}{2n^2} < \frac{3n+1}{n^2} < \frac{3n+n}{n^2} = \frac{4n}{n^2} = \frac{4}{n} <\varepsilon$

$N > \frac{4}{\varepsilon}$

[gefest_md]

Да. Но где-то там будет нестрогое неравенство, $\leqslant$, и $N=n(\varepsilon)=\left[\frac{4}{\varepsilon}\right]+1.$

[rodo_by]

Всем спасибо за подсказки

[ewert]

rodo_by в сообщении #779865 писал(а):

Что если так?

$\frac{3n+1}{2n^2-1} < \frac{3n+1}{2n^2} < \frac{3n+1}{n^2} < \frac{3n+n}{n^2} = \frac{4n}{n^2} = \frac{4}{n} <\varepsilon$

Самое первое неравенство не так. Оцените нижнюю единичку сверху примерно так же, как оценивали верхнюю. Кроме того: зачем делать лишнюю работу и выкидывать двойку?

[iifat]

rodo_by в сообщении #779822 писал(а):

Я должен решать квадратное уравнение?

Не, всё вышесказанное, разумеется, верно, только зачем весь этот сыр-бор — решительно не понимаю. Вполне себе безобидное квадратное уравнение. $n\ge\frac3{4\varepsilon}+\frac1{4\varepsilon}\sqrt{9+8\varepsilon(1+\varepsilon)}$. Любое $n$, удовлетворяющее неравенству, может быть выбрано в качестве $N_{\varepsillon}$. Куда-то упорно теряется нижний индекс $\varepsilon$ у $N$.

[provincialka]

Если рассуждать строго, то существование и свойства корня (и других элементарных функций) доказывается на основе свойств непрерывности. То есть пределы должны быть доказаны до и без них.

[ewert]

iifat в сообщении #779916 писал(а):

Вполне себе безобидное квадратное уравнение. $n\ge\frac3{4\varepsilon}+\frac1{4\varepsilon}\sqrt{9+8\varepsilon(1+\varepsilon)}$.

Оно лишь случайно безобидное. Что, скажем, если бы в числителе стояла минус единичка вместо плюс? Сразу же начались бы совершенно ненужные размышления.

-- Пт окт 25, 2013 09:33:50 --

provincialka в сообщении #779919 писал(а):

То есть пределы должны быть доказаны до и без них.

Мы с Вами уже эту тему обсуждали. В этом месте строгость неуместна: пример ведь сугубо тренировочный и никакого значения для теории не имеет.

[Someone]

rodo_by в сообщении #779865 писал(а):

Что если так?

$\frac{3n+1}{2n^2-1} < \frac{3n+1}{2n^2} < \frac{3n+1}{n^2} < \frac{3n+n}{n^2} = \frac{4n}{n^2} = \frac{4}{n} <\varepsilon$

Беда в том, что $\frac{3n+1}{2n^2-1}>\frac{3n+1}{2n^2}$, потому что числитель не изменился, а знаменатель увеличился.
Но можно начать так: $\frac{3n+1}{2n^2-1}<\frac{3n+1+2}{2n^2-1-1}=\ldots$ (предполагая, что $n>1$).

[ewert]

Someone в сообщении #779929 писал(а):

Но можно начать так: $\frac{3n+1}{2n^2-1}<\frac{3n+1+2}{2n^2-1-1}=\ldots$

Проще начать $\frac{3n+1}{2n^2-1}\leqslant\frac{3n+n}{2n^2-n^2}$. Этим же и закончить.

[rodo_by]

ewert в сообщении #779930 писал(а):

Проще начать $\frac{3n+1}{2n^2-1}\leqslant\frac{3n+n}{2n^2-n^2}$. Этим же и закончить.

Это пожалуй лучший вариант.