Как доказать ограниченность данной последовательности?

[Tosha]

Как доказать ограниченность последовательности и ее монотонность?

$x_{n+1}=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4};\;\;x_1=1$

У меня есть такие соображения:

1) Монотонность:

$x_{n+1}-x_{n}=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}-x_n=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{x_n}{4}>0$ (те $x_n>0$, точно ли $x_n>0$, как проверить,откуда следует?). То есть возрастает последовательность.

2) Ограниченность. Тут есть только идея взять число от балды и по мат индукции доказать.

$x_{n+1}=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}<10$ (*)

a) (*) Выполняется для $n=1$

b) Предположим, что для $n=k$ (*) выполняется. Проверим для $n=k+1$

$x_{k+2}=\dfrac{1}{2x_{k+1}}+\dfrac{3x_{k+1}}{4}<\dfrac{1}{2}+\dfrac{30}{4}=\dfrac{32}{4}=8<10$ (чтд).

Ограниченность снизу $x_n\ge 1$

[provincialka]

В п.1 вычислительная ошибка: $\frac34-1=-\frac14 <0$ Исправьте и посмотрите, при каком условии будет $x_{n+1}.x_n$

[Tosha]

provincialka в сообщении #778469 писал(а):

В п.1 вычислительная ошибка: $\frac34-1=-\frac14 <0$ Исправьте и посмотрите, при каком условии будет $x_{n+1}.x_n$

При $|x_n|>\sqrt{2}$? А как узнать -- больше ли $x_n$, чем корень из двух?

-- 22.10.2013, 12:32 --

А как доказать огранниченность снизу тогда?

[provincialka]

Вы же хотите возрастание доказать? Там у меня опечатка, вместо знака $>$ точка получилась. А вы какое неравенство проверяли? Похоже, опять ошибка в счете. Должно получиться $x_n^2 <2$. Вот это и надо показать в первую очередь, это будет и ограниченность, и возрастание. Вернее, оба свойства надо проверять параллельно.

[Taus]

Цитата:

А как доказать огранниченность снизу тогда?

Можно взять что-нибудь простое, например посмотреть на знаки членов последовательности.

[Tosha]

provincialka в сообщении #778501 писал(а):

Вы же хотите возрастание доказать? Там у меня опечатка, вместо знака $>$ точка получилась. А вы какое неравенство проверяли? Похоже, опять ошибка в счете. Должно получиться $x_n^2 <2$. Вот это и надо показать в первую очередь, это будет и ограниченность, и возрастание. Вернее, оба свойства надо проверять параллельно.

Спасибо, но как их проверять?

[Tosha]

Я понял, что из $x_{n+1}>x_n$ следует, что $x_n^2<2$. То есть из возрастания будет следовать ограниченность (конкретно в этой задаче). Весь вопрос в том -- как доказать ограниченность теперь. Про чередование знаков пока что не понятно.

[provincialka]

Tosha в сообщении #778593 писал(а):

Я понял, что из $x_{n+1}>x_n$ следует, что $x_n^2<2$.

Лучше рассуждать наоборот, из свойств $x_n$ делать вывод о следующем члене последовательности.

Само неравенство для $x_n^2$ докажите по индукции.

[Oleg Zubelevich]

а еще полезно нарисовать график функци $1/(2x)+3x/4$ и в тех же осях нарисовать график функции $y=x$ а потом нарисовать последовательность

[Tosha]

provincialka в сообщении #778620 писал(а):

Tosha в сообщении #778593 писал(а):

Я понял, что из $x_{n+1}>x_n$ следует, что $x_n^2<2$.

Лучше рассуждать наоборот, из свойств $x_n$ делать вывод о следующем члене последовательности.

Само неравенство для $x_n^2$ докажите по индукции.

Спасибо.

$|x_{n+1}|=\left|\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}\right|<\sqrt{2}$ (*)

a) (*) Выполняется для $n=1$

b) Предположим, что для $n=k$ (*) выполняется. Проверим для $n=k+1$

$\left|x_{k+2}\right|=\left|\dfrac{1}{2x_{k+1}}+\dfrac{3x_{k+1}}{4}\right|=\left|\dfrac{4+3x_{k+1}^2}{4x_{k+1}}\right|\le 10\cdot \left|\dfrac{1}{4x_{k+1}}\right|=2,5\cdot \left|\dfrac{1}{x_{k+1}}\right|$

А как дальше доказывать?

Как рассуждать наоборот, используя свойства последовательности -- не знаю. Может подскажите -- какие именно свойства?

[provincialka]

Лучше возведите $n+1$ член в квадрат и запишите нужное неравенство. Преобразуйте его в более простой вид.

Желательно, чтобы вы что-то сделали сами, а не только повторяли за нами.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим уравнение $1/2+3x/4=x$ корень этого уравнения $x^*=2$.

Поскольку последовательность не убывает $x_n\ge 1$.

Тогда если $x_n\le x^*$ то

$$x_{n+1}=\frac{1}{2x_n}+\frac{3x_n}{4}\le 1/2+3x^*/4=x^*$$

Поэтому последовательность ограничена сверху двойкой.

для доказательства того, что последовательность возрастает достаточно заметить, что при $x\ge 1$ возрастает функция $f(x)=1/(2x)+3x/4$ и что $f(1)>1$

[Tosha]

$x_{n+1}^2=\left(\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}\right)^2=\dfrac{1}{4x_n^2}+2\cdot \dfrac{1}{2x_n}\cdot \dfrac{3x_n}{4}+\dfrac{9x_n^2}{16}=\dfrac{1}{4x_n^2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{9x_n^2}{16}$

$\dfrac{1}{4x_n^2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{9x_n^2}{16}<2$

$\dfrac{1}{4x_n^2}+\dfrac{9x_n^2}{16}<1,25$

$\dfrac{4+9x_n^4}{16x_n^2}<1,25$

$4+9x_n^4<20x_n^2$

$9x_n^4-20x_n^2+4<0$

$x_n^2=t\ge 0$

$9t^2-20t+4<0$

$\dfrac{2}{9}<t<2$

$\dfrac{2}{9}<x_n^2<2$

Получилось, что из того, что $x_{n+1}^2<2$ следует то, что $\dfrac{2}{9}<x_n^2<2$

Если всю логическую цепочку развернуть в обратную сторону, получится, что из того, что $x_n^2<2$ будет следовать, что $x_{n+1}^2<2$.
А это и есть индукционный переход. База $x_1^2=1<2$

Верно ли это?

-- 22.10.2013, 23:00 --

Oleg Zubelevich в сообщении #778748 писал(а):

Рассмотрим уравнение $1/2+3x/4=x$ корень этого уравнения $x^*=2$.

Поскольку последовательность не убывает $x_n\ge 1$.

Тогда если $x_n\le x^*$ то

$$x_{n+1}=\frac{1}{2x_n}+\frac{3x_n}{4}\le 1/2+3x^*/4=x^*$$

Поэтому последовательность ограничена сверху двойкой.

для доказательства того, что последовательность возрастает достаточно заметить, что при $x\ge 1$ возрастает функция $f(x)=1/(2x)+3x/4$ и что $f(1)>1$

Спасибо, понятно!

[Tosha]

Видно ересь написал какую-то

[deep blue]

Цитата:

для доказательства того, что последовательность возрастает достаточно заметить, что при $x\ge 1$ возрастает функция $f(x)=1/(2x)+3x/4$ и что $f(1)>1$

Возьмем $x_n=4$, тогда $x_{n+1}=1/6+3<x_n$. Последовательность убывает. Противоречие.