Можно ли доказать аксиому?

[Linkey]

Возник сабжевый вопрос: можно ли доказать аксиому, т.е. перевести её из категории аксиом в категорию доказанных фактов/теорем.
Например, есть аксиома, что через две точки можно провести прямую только единственным образом. Пытался ли кто-то её доказать? Может быть, её докажут в будущем, когда математика разовьётся до достаточного уровня? Если же нет, можно ли доказать, что её невозможно доказать (чувствуется подвох)?

Я задавал этот вопрос в другом подфоруме:

topic76958.html

[Corund]

Вам же подробно рассказали, в чем отличие аксиом, теорем, постулатов и теорий друг от друга?

[korolev]

(Оффтоп)

Если бы не океаны, то доказать аксиому о параллельных линиях вполне было бы возможно. Достаточно обогнуть планету железнодорожной веткой с русской колеёй 1520 мм, и хоть миллион раз огибай землю на скоростном поезде - рельсы ни на миллиметр не сблизятся и не разойдутся.

[gris]

Некоторые системы аксиом, например, школьную геометрическую, в методических целях делают избыточными. Ну чтобы не перегружать неокрепшие умы и при этом сохранять строгость изложения. В такой системе можно вывести какое-то из аксиоматических утверждений из других.
Про отдельное утверждение вообще нельзя говорить аксиома ли оно или теорема. Только в рамках некоторой системы аксиом. Ваше утверждение о прямой, проходящей через две точки, вполне может быть доказываемой теоремой в некоторой системе аксиом, где данное свойство сформулировано в эквивалентной форме. Например, для известной аксиомы о параллельных насчитывается до нескольких десятков утверждений, каждое из которых, принятое в качестве аксиомы, превращает знаменитый постулат в заурядную теорему. Но так делать некрасиво и нечестно.

[provincialka]

Именно это сделал Лобачевский: доказал, что постулат о параллельных нельзя вывести из других аксиом. Он показал, что геометрия с противоположным утверждением нисколько не хуже обычной.

[Linkey]

А в истории были случаи, когда известная аксиома с развитием математики превращалась в теорему?

[provincialka]

Может быть, но только очень давно. Уже древние греки подошли к делу весьма основательно.
Но до них, можно сказать, все было аксиомой. "Так сказал Осирис" - вот и все доказательство.

[Sonic86]

Не особо понятно, что само по себе значит "доказать аксиому". Надо еще что-то говорить.
Аксиома - это не утверждение само по себе, это утверждение, выбранное среди множества некоторых утверждений и принимаемое в качестве посылки для вывода следствий из нее и из других аксиом. Пусть у Вас $\Sigma$ - система аксиом. Вы можете попытаться выбрать другую систему аксиом $\Sigma '$ и доказать из нее все аксиомы из $\Sigma$. Например, аксиоматика Гильберта для евклидовой геометрии и аксиоматика Вейля.
Может быть также, что выбрана система аксиом относительно какого-то объекта, а потом обнаружится, что какая-то из этих аксиом может быть выведена из других. Тогда такую выводимую аксиому называют зависимой и часто исключают из исходного набора из соображений минимальности набора. Хотя могут и не исключить из соображений большей простоты вывода из более полной системы аксиом. Видимо, Вас именно этот случай интересует. Ну бывает. Какая-то из аксиом линейного пространства вроде от других зависима...
Если система аксиом некатегоричная (надеюсь, правильно термин вспомнил), т.е. имеет несколько моделей (например, теория групп, логические исчисления), то для каждой аксиомы м.б. доказана независимость от прочих аксиом системы подбором модели, в которой эта аксиома не выполняется. Независимые от прочих аксиомы в рамках данной системы аксиом уже не могут быть доказаны никогда.
Есть также аксиоматические системы и есть их интерпретации. Например, аксиоматика топологических пространств. Если мы для какой-то системы множеств проверяем аксиомы системы и видим, что они выполняются, то мы можем автоматически считать для этой системы множеств истинными все теоремы, верные для топологических пространств данного типа. Хотя это точно не то...
Также аксиомы могут рассматриваться как неявные определения. В таком случае выражение "доказать аксиому" бессмысленно.

По-моему, здесь в любом случае из рассмотренных аксиома не становится какой-то абсолютной истиной - ее истинность все равно будет зависеть от истинности тех аксиом, на которые опирается ее вывод.

Есть же книжки: Успенский про аксиоматический метод, плюс матлогика про аксиоматические теории. Почему не почитать, там все просто.

[mihailm]

Linkey в сообщении #778340 писал(а):

Возник сабжевый вопрос...

Вопрос конечно хороший, но к несчастью ответ на него далеко не прост и прозрачен.
Если есть много времени можно почитать литературу из Формальная система

[Linkey]

provincialka в сообщении #778381 писал(а):

"Так сказал Осирис" - вот и все доказательство.

(Оффтоп)

Если не ошибаюсь, в средние века была похожая методология. "С Божьей помощью, треугольник A равен треугольнику B" ;)

[Linkey]

provincialka в сообщении #778373 писал(а):

Именно это сделал Лобачевский: доказал, что постулат о параллельных нельзя вывести из других аксиом. Он показал, что геометрия с противоположным утверждением нисколько не хуже обычной.

Я не такой умный как Лобачевский, но рискнул бы вступить с ним в полемику. Предлагаю такую мысль: аксиома о параллельных прямых тесно связана с проблемой деления на ноль, и в будущем, когда в математике будет разработана теория деления на ноль, эта аксиома станет теоремой (система аксиом станет шире).

[provincialka]

Linkey в сообщении #778411 писал(а):

Я не такой умный как Лобачевский,

Вот с этим соглашусь. Остальное - не нужно.

[Sonic86]

Linkey в сообщении #778411 писал(а):

Предлагаю такую мысль: аксиома о параллельных прямых тесно связана с проблемой деления на ноль, и в будущем, когда в математике будет разработана теория деления на ноль, эта аксиома станет теоремой (система аксиом станет шире).

Простите за плохое качество аргументации, но

[provincialka]

(Оффтоп)

Рассуждения ТС прямо отражают смысл известной пословицы: "Слышал звон, да не знает, где он". Мешанина из обрывков идей.

[Linkey]

Это, можно сказать, не моя идея. У Стругацких есть "Нуль-кабина", "Нуль-передатчики" и т.п.