Формула полной вероятности и Бернулли

[paradiseva]

Добрый вечер, уважаемые форумчане. Есть две задачки:

1. Есть две урны. В первой урне находятся 3 белых и 6 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Наугад выбирается урна и из нее извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся черными?

Решение: Пусть событие Н1 = {извлечены шары из 1й урны}, событие Н2= {извлечены шары из 2й урны}, $P(H_{1})=P(H_{2})=\frac 1 2$. Событие А = {извлечено 2 чёрных шара}. $P(A \mid H_{1})=\frac {C_{6}^{2}} {C_{9}^{2}} = \frac {5} {12}$, $P(A \mid H_{2})= \frac {C_{4}^{2}} {C_{8}^{2}}= \frac {3} {14}$. Воспользуемся формулой полной вероятности: $P(A)=P(H_{1}) \cdot P(A \mid H_{1})+P(H_{2}) \cdot P(A \mid H_{2} )= \frac {53} {168} \approx 0.315$

здесь мне кажется, что я справилась с решением, но не уверена до конца.

2.Случайное событие А в каждом из 160 повторных независимых испытаний происходит с вероятностью 1/3. Найти (а) вероятность того, что это событие произойдет 20 раз, (б) вероятность того, что событие произойдет от 15 до 30 раз.

Решение: (а) Воспользуемся формулой Бернулли: $P_{n}(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k},n=160, k=20, p= \frac 1 3, q=1-p=1- \frac 1 3= \frac 2 3$.

$P_{160} (20)=C_{160}^{20} \cdot (\frac 1 3)^{20} \cdot (\frac 2 3)^{140}= \frac {160!} {20!140!} \cdot \frac {2^{140}} {3^{160}} $
(б)
$P_{160} (15 \leqslant k \leqslant 30)=P_{160} (15)+P_{160} (16)+P_{160} (17)+P_{160} (18)+P_{160} (19)+P_{160} (20)+P_{160} (21)+P_{160} (22)+P_{160} (23)+P_{160} (24)+P_{160} (25)+P_{160} (26)+P_{160} (27)+P_{160} (28)+P_{160} (29)+P_{160} (30)$

А вот во второй задаче у меня ступор. В (а) получилась очень громоздкая дробь, вычисляется прямо-таки не очень. А вот в (б) вообще не понимаю, неужели нужно считать здоровенные дроби 15 раз? Может, я что-то не так делаю?

Заранее благодарю за помощь!

[Otta]

1) Правильно.
2) Кто ж это так считает. Предельных теорем для схемы Бернулли совсем-совсем не было?

[paradiseva]

Otta в сообщении #777676 писал(а):

1) Правильно.
2) Кто ж это так считает. Предельных теорем для схемы Бернулли совсем-совсем не было?

когда в университете училась, были, конечно, но со временем забылись...итак, почитала, получается в моем случае: а) локальная теорема Муавра-Лапласа
$x=\frac {m-np} {\sqrt{npq}} = \frac{20-160\cdot \frac 1 3} {\sqrt {160\cdot \frac 1 3 \cdot \frac 2 3}} = \frac {-\frac {100}{3}}{\frac{8\sqrt{5}} {3}} = -\frac{50}{4\sqrt{5}} \approx -5.56 $

Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась?

[provincialka]

А вы Excel не пользуетесь? Там все стандартные распределения запрограммированы. (В том числе Бернулли можно посчитать для любых значений)

[paradiseva]

provincialka в сообщении #777710 писал(а):

А вы Excel не пользуетесь? Там все стандартные распределения запрограммированы. (В том числе Бернулли можно посчитать для любых значений)

Мне нужно самой разобраться, как, почему и что, а то, что Эксель хорошо считает, я знаю, но, к сожалению, он мне не объяснит должным образом логику решений, которая для меня крайне важна :)

[Limit79]

paradiseva
Для функции Лапласа при $x>4$ принимают $\text{Ф}(x)=\frac{1}{2}$.

-- 20.10.2013, 20:07 --

paradiseva в сообщении #777703 писал(а):

а) локальная теорема Муавра-Лапласа
$x=\frac {m-np} {\sqrt{npq}} = \frac{20-160\cdot \frac 1 3} {\sqrt {160\cdot \frac 1 3 \cdot \frac 2 3}} = \frac {-\frac {100}{3}}{\frac{8\sqrt{5}} {3}} = -\frac{50}{4\sqrt{5}} \approx -5.56 $

Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась?

Только Вам нужна функция Гаусса, если не ошибаюсь.

[paradiseva]

Limit79 в сообщении #777718 писал(а):

paradiseva
При $x>4$ принимают $\text{Ф}(x)=\frac{1}{2}$.

Да, верно, мне нужно значение $\varphi(x)$ функции Гаусса, я использую не интегральную, а локальную теорему. В таблице строго до 4х значения.

[Limit79]

В первом случае - локальная формула Муавра-Лапласа (там нужна функция Гаусса, которая $\varphi (x)$).

Во втором - интегральная формула Муавра-Лапласа (там нужна функция Лапласа, которая $\text{Ф}_{0} (x)$).

[--mS--]

paradiseva в сообщении #777703 писал(а):

Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась?

А подставить в формулу и посчитать $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-x^2/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-\frac{(m-np)^2}{2npq}}$?

[Limit79]

paradiseva в сообщении #777721 писал(а):

Да, верно, мне нужно значение $\varphi(x)$ функции Гаусса, я использую не интегральную, а локальную теорему. В таблице строго до 4х значения.

$\varphi(-x) = \varphi(x)$, при $x>3.9$ принимают $\varphi(x)=0$

[paradiseva]

--mS-- в сообщении #777725 писал(а):

paradiseva в сообщении #777703 писал(а):

Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась?

А подставить в формулу и посчитать $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-x^2/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-\frac{(m-np)^2}{2npq}}$?

даже не подумала об этом, спасибо за подсказку. Так, подставляю:
$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-\frac{(m-np)^2}{2npq}}$ = \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot 3.14 \cdot 160 \cdot \frac{1} {3} \cdot \frac{2}{3}}}e^{-\frac{(20- \frac{160}{3})^2}{2 \cdot 160 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}} =\frac{3}{\sqrt{2009.6}}2.7^{-15.625} \approx 0.121

и тогда у меня получается: $P_{160}(20) = \frac {0.121} {\sqrt{160 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}}$ \approx \frac {0.121} {5.963} \approx 0.02

[Limit79]

(MathCad)

[--mS--]

Напрасно Вы дважды делили на $\sqrt{npq}$. Он уже есть в формуле. И никак не могло $2.7^{-15.625}$ (и еще делить на что-то) получиться таким большим (ну это уже Limit79 написал).

Ну и потом: если в качестве $e$ брать $2.7$, а в качестве $\pi$ - $3.14$, то ни к чему вообще что-то считать. Если взять ноль, как советовали выше, и то точнее будет.

[Null]

Относительная погрешность порядка 10%. Это лучше чем 100% погрешности.

[paradiseva]

--mS--, Limit79
спасибо огромное! Внимательно села, пересчитала, получилось похоже на правду! Решение в чистом виде оформила так:


пункт (б) решала по интегральной теореме Муавра-Лапласа, вроде бы все понятно, но вероятность у меня получается отрицательной, чего быть в принципе не может. Либо я неправильно применила формулу, либо все-таки значение функции Лапласа нашла неправильные. Подскажите, пожалуйста.