Общий интеграл системы ОДУ

[DLL]

Есть линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений, более того с числовыми коэффициентами для 6 неизвестных функций, например: $x_1(t), x_2(t), ..., x_6(t)$.

Я могу построить 4 функционально независимых общих интеграла полиномиального вида относительно $x_1, ..., x_6$. Что касается 5 - то у меня он либо строится зависимым, либо не полиномом.

Можно ли узнать каким-нибудь образом можно ли в принципе это сделать? Т.е. построить 5 независимых общих интеграла полиномиального вида (на всякий случай, упомяну повторно что 4 уже есть)...

[DLL]

Предполагаю, что на деле все достаточно просто.

Предположим, что мы имеем дело с матрицей 2 на 2, при чем уже приведенной к жордановой форме (и для простоты пусть это будет просто диагональная матрица - с двумя значениями 1 и 0), т.е:

$\frac{dx}{dt}=x+A,$
$\frac{dy}{dt}=B.$

То есть:
$x(t)= C_1 e^t - A,$
$y(t) = B t + C_2,$

Отсюда если существует полиномиальный первый интеграл $F(x,y)$, то он должен обращаться в константу при подстановке решения:
$F(C_1 e^t - A, B t + C_2)=C.$

Очевидно, такого полинома существовать не может!

Могут быть другие случаи - например, на диагонали стоит 1 и 2 - тогда будет существовать полиномиальный первый интеграл. Можно разобрать и другие случаи.

Однако, не хотелось бы изобретать велосипед - полагаю (ввиду простоты задачи - что все это уже сделано). Интуитивно ответ в своей задачи я вижу, тем не менее, хотелось бы это строго доказать, а в идеале просто сослаться на какую-нибудь известную теорему