Дифференцируемость сложной функции

[Osmium]

Дана функция $z = f(\arctg(xy^2), x+2^y)$
Помогите пожалуйста разобраться, как найти:
1) $z''_{xy}$
2) $d^2z$

[arseniiv]

Osmium в сообщении #775980 писал(а):

1) $z''_{xy}$

Сначала один раз по иксу. Пробовали, что получилось?

Если трудно, можно разобрать эту формулу на три: $z = f(u, v), \; u = \arctg xy^2, \; v = x + 2^y$.

[Osmium]

arseniiv
Да, вот что получилось:
$u' = \frac {y^2} {x^2y^4+1}$
$v' = 1$

[arseniiv]

Теперь можете найти и $z'_x$.

[Osmium]

arseniiv
$z'_x = \frac {y^2} {x^2y^4+1}\ +1$
Так? Я правильно понимаю?

[arseniiv]

Не, неправильно.

Формулу наподобие

$$\frac{\partial g(x(t), y(t))}{\partial t} = \frac{\partial g(x, y)}{\partial x}\,\frac{dx(t)}{dt} + \frac{\partial g(x, y)}{\partial y}\,\frac{dy(t)}{dt}$$

знаете?

[provincialka]

Osmium в сообщении #776003 писал(а):

arseniiv
Да, вот что получилось:
$u' = \frac {y^2} {x^2y^4+1}$
$v' = 1$

Уже ошибка. Знаете, в чем? У функции двух переменных не бывает "просто" производной, только частные. А что означает у вас запись вида $u',v'$?

[Osmium]

arseniiv
Знаю, но я вообще не понимаю, как правильно применить её и записать получившийся результат! Помогите пожалуйста

provincialka
Я знаю, что у функции нескольких переменных нет "просто" производной.
$u, v$ - это вспомогельные функции для нахождения производной. Посмотрите выше сообщения.

[Otta]

Osmium в сообщении #776254 писал(а):

provincialka
Я знаю, что у функции нескольких переменных нет "просто" производной.
$u, v$ - это вспомогельные функции для нахождения производной. Посмотрите выше сообщения.

Это Вы посмотрите на функции. От скольких переменных зависят $u, v$?

[provincialka]

(Оффтоп)

раз функции вспомогательные - обойдутся и так. Не стараться же для них, как для основных

Osmium, вам же выписали формулу.

arseniiv в сообщении #776095 писал(а):

$$\frac{\partial g(x(t), y(t))}{\partial t} = \frac{\partial g(x, y)}{\partial x}\,\frac{dx(t)}{dt} + \frac{\partial g(x, y)}{\partial y}\,\frac{dy(t)}{dt}$$

Особенность этого примера в том, что первые сомножители в каждом слагаемом нельзя расписать более конкретно, они в таком виде и останутся.

Если не любите "круглые д", можете написать и со штрихами: $f'_x = f'_u\cdot u'_x + f'_v\cdot v'_x$, так же по $y$

[Osmium]

provincialka
Так получается? Или я совсем тупой?
$f'_x = f'_u(\arctg(xy^2), x + 2^y) \frac {y^2} {x^2y^4+1} + f'_v (\arctg(xy^2), x + 2^y)$

[Otta]

Правильно.

[Osmium]

Otta
Теперь осталось от этого выражения взять производную по $y$? И все? А как быть со вторым дифференциалом?

[Otta]

Osmium в сообщении #776544 писал(а):

Теперь осталось от этого выражения взять производную по $y$? И все?

Да.
Со вторым дифференциалом - для начала вспомнить, что такое второй дифференциал функции... скольки? переменных.

[Osmium]

Otta
Ну...я понимаю вот так!
$dz = f'_{\alpha}d{\alpha} + f'_{\beta}d{\beta} $
$d{\alpha} = {\alpha}'_xdx + {\alpha}'_ydy$