Из_учебника_сканави.

[EgorAZ]

$\cos^4x + \sin^2y + 0,25\sin^22x - 1 = \sin(y+x)\sin(y-x)$
Что не могу понять, как доказать данное тождество. И вообще трудно соображу, как доказывать тригонометрические тождества. Формул где-то около 30 в учебники Сканави, и часто подходило сразу несколько, а нужных 2-3 максимум, далее получается галиматья. Может быть тут какой-то секрет в их доказательстве? Или чисто методом проб и ошибок?

[arseniiv]

Попробуйте раскрыть синусы разности и суммы.

[EgorAZ]

arseniiv в сообщении #774756 писал(а):

Попробуйте раскрыть синусы разности и суммы.

$\sin(y+x)\sin(y-x)$ Вы имеете ввиду эти?

[Munin]

Большинство формул не нужны - они следствия других формул. Самые главные формулы:
- основное тригонометрическое тождество;
- формулы синуса и косинуса суммы;
- формулы суммы синусов и косинусов.
Всё остальное может быть выведено из них (и даже суммы синусов и косинусов могут быть выведены из формул суммы углов). Запоминать стоит только для того, чтобы быстрее применять - отдельной информации они в себе не несутю

Есть ещё несколько приёмов. Одни из них - позволяют сочетать между собой несколько слагаемых, другие - наоборот, избавляться от сомножителей, третьи - понижают степень, четвёртые - повышают степень. Это использование тех же формул, но для частных надобностей. Чего вам мешается в уравнении - от того и избавляетесь.

Если не помогают тригонометрические формулы, воспринимайте синусы и косинусы чисто как переменные, типа $s$ и $c,$ и нападайте на них методами алгебры (разложение на множители, приведение подобных, выделение полного квадрата и т. п.).

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #774764 писал(а):

Большинство формул не нужны - они следствия других формул

Вообще, большинство теорем в математике являются следствиями других теорем. выходит они тоже не нужны.

[arseniiv]

EgorAZ в сообщении #774758 писал(а):

$\sin(y+x)\sin(y-x)$ Вы имеете ввиду эти?

Да. Других там нет!

[EgorAZ]

arseniiv в сообщении #774769 писал(а):

EgorAZ в сообщении #774758 писал(а):

$\sin(y+x)\sin(y-x)$ Вы имеете ввиду эти?

Да. Других там нет!

$(\sin y \cos x + \cos y \sin x)(\sin y \cos x - \cos y \sin x)$ Что-то все не вижу общей картины.

[arseniiv]

Так вы скобочки раскройте. Какая там картина, слева же нету скобок — слева сумма, почему бы не сделать сумму и справа?

[mihailm]

EgorAZ в сообщении #774777 писал(а):

...
$(\sin y \cos x + \cos y \sin x)(\sin y \cos x - \cos y \sin x)$ Что-то все не вижу общей картины.

Общую картину будете видеть когда станете профессиональным математиком, а пока ... умножайте, складывайте, приводите подобные члены и т.д. и т.п.

[EgorAZ]

arseniiv в сообщении #774778 писал(а):

Так вы скобочки раскройте. Какая там картина, слева же нету скобок — слева сумма, почему бы не сделать сумму и справа?

Не знаю, я раскрыл скобки $\sin^2 y \cos^2 x - \cos^2 y \sin^2 x$

[EtCetera]

Вообще-то, тут проще не раскрывать, а, наоборот, представить произведение синусов в виде полуразности косинусов.

[fiztech]

Левую часть преобразуйте как разность квадратов, перенесите все в левую часть. Найдите как упростить (можно кое где вынести $\cos^{2}x$ ), далее выделите $(1-\sin^{2}y )$, преобразуйте в косинус и на него поделите и будет хорошо.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #774768 писал(а):

Вообще, большинство теорем в математике являются следствиями других теорем. выходит они тоже не нужны.

В общем, на практике так и есть.