неравноточные измерения

[AndreyL]

--mS-- в сообщении #773707 писал(а):

Разве что $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}\frac{1}{\sqrt{1-w_i}}$

Да, конечно, Вы правы!
Посмотрел Монте-Карлой величину $\chi^2=\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i} \right)^2$. Интересно, но она, похоже, подчиняется хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы.

[AndreyL]

В случае с одинаковыми весами $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}\sqrt{ \frac{n}{n-1}}$ тоже подчиняется нормальному распределению, однако при расчете статистики $\chi^2$ подкоренное выражение исчезает

[--mS--]

AndreyL в сообщении #773713 писал(а):

Интересно, но она, похоже, подчиняется хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы.

Эта - да, подчиняется, просто по лемме Фишера.

(Оффтоп)

Заглянула на 7 страницу - Вам ведь изначально именно это и было нужно, но за выяснением распределений слагаемых этот факт потерялся

[AndreyL]

Замечательно! Итого имеем $\chi^2=\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i} \right)^2$, которая подчиняется распределению хи-квадрат если $\sigma_0=0$. Можно ли из этого сделать критерий равенства $\sigma_0=0$? И, если можно, то как им правильно пользоваться?

[--mS--]

Чтобы построить критерий, мало знать распределение некоторой статистики при верной основной гипотезе. Необходимо ещё, чтобы статистика критерия как-то заметно по-разному себя вела при верной основной гипотезе и при альтернативе. А я не вижу, как эта статистика себя ведёт при $d_0\neq 0$.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #773807 писал(а):

Эта - да, подчиняется, просто по лемме Фишера.

А что, зависимость $Y_i$ не принципиальна?

[--mS--]

Принципиальна, именно поэтому число степеней свободы и стало $n-1$. Вы о чём? См. свойства выборочной дисперсии для обычных нормальных выборок - там зависимость не смущает?

Лемма Фишера.
Если вектор $\vec \xi = (\xi_1,\ldots,\xi_n)^T$ имеет многомерное стандартное нормальное распределение и $Q$ - ортогональная $n\times n$ матрица, а вектор $\vec \eta = Q\vec\xi$, то для любого $k=1,\ldots,n-1$ случайная величина

$$\sum_{i=1}^n \xi_i^2 - \sum_{i=1}^{k}\eta_i^2$$

имеет распределение $\chi^2_{n-k}$ и не зависит от $\eta_1,\ldots,\eta_k$.

Примените к многомерному стандартному нормальному вектору с компонентами $\xi_i=\frac{X_i-a}{\sigma_i}$ и с матрицей $Q$, имеющей первую строку

$$\left(\dfrac{1}{\sqrt{b}\sigma_1}, \ldots, \dfrac{1}{\sqrt{b}\sigma_n}\right), \quad b=\sum_{i=1}^n \dfrac1\sigma_i^2.$$

Для $\hat a = \dfrac1b \sum\dfrac{X_i}{\sigma_i^2}$

$$\sum_1^n\left(\dfrac{X_i - \hat a}{\sigma_i}\right)^2 = \sum_1^n \xi_i^2 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{b}}\sum\dfrac{\xi_i}{\sigma_i}\right)^2 = \sum_1^n \xi_i^2 - \eta_1^2 \sim \chi^2_{n-1}.$$

И к тому же не зависит от $\hat a$.

[_hum_]

Да, конечно. Просто не сразу сообразил, что $\sum_i Y_i^2$ напрямую соотносится с $S_0^2$

[AndreyL]

--mS-- в сообщении #773821 писал(а):

Чтобы построить критерий, мало знать распределение некоторой статистики при верной основной гипотезе. Необходимо ещё, чтобы статистика критерия как-то заметно по-разному себя вела при верной основной гипотезе и при альтернативе. А я не вижу, как эта статистика себя ведёт при $d_0\neq 0$.

При увеличении $d_0$ эта статистика растет. Но, действительно, как проверить мощность критерия?

[--mS--]

AndreyL в сообщении #774489 писал(а):

При увеличении $d_0$ эта статистика растет.

Как-то "вести" себя она должна не с увеличением $d_0$, а с увеличением $n$ при произвольном фиксированном $d_0\neq 0$.

[AndreyL]

--mS-- в сообщении #774564 писал(а):

Как-то "вести" себя она должна не с увеличением $d_0$, а с увеличением $n$ при произвольном фиксированном $d_0\neq 0$.

Это само собой.
Но я говорил немного о другом - при одинаковых $n$ плотность распределения этой статистики зависит от $d_0$. При $d_0=0$ статистика подчиняется распределению хи-квадрат. При увеличении $d_0$ график плотности ее распределения смещается вправо.

[--mS--]

Замечательно, но Вы хотели на базе этой статистики строить критерий для различения гипотез $d_0 =0$ и $d_0\neq 0$. Так вот для построения такого критерия знать нужно, как себя ведёт статистика критерия не с ростом $d_0$, а с ростом $n$ при фиксированном $d_0\neq 0$. А ещё лучше, не она, а эта статистика делённая на $n-1$, чтоб почувствовать разницу при основной и альтернативной гипотезах.
Потому что несостоятельные критерии, мощность которых не стремится к единице с ростом $n$, никого явно не интересуют. Критерий же с фиксированным размером и непонятно какой мощностью построить нет проблем - с критической областью $\sum\left(\frac{x_i-\hat a}{\sigma_i}\right)^2 > \chi^2_{n-1, 1-\varepsilon}$, где справа - квантиль нужного уровня.

Мне предел $\frac{1}{n-1}\sum\left(\frac{x_i-\hat a}{\sigma_i}\right)^2$ вычислять лень откровенно.