Задача по мат. физике

[Babeuf]

Здравствуйте. Есть такая задача:

$\frac {\partial^2 {u(z,t)}} {\partial {z}^2}-\frac{1} {\kappa^2} \frac {\partial^2 {u(z,t)}} {\partial {t}^2}=0$
$\frac {\partial {u}} {\partial {z}}|_{z=0}=\lambda \frac {\partial^2 {u}} {\partial {t}^2}|_{z=0}$
$u(z=0,t)=u_0$
$u(z>0,t)=0$
Где $\kappa$ и $\lambda$ константы $>0$
Найти:
$u(z,t)$

Начал решать с помощью преобразования лапласа. Получилось:
$\frac {\partial^2 {U(z,p)}} {\partial {z}^2}-\frac{p^2} {\kappa^2} U(z,p)=0$
$\frac {\partial {U(z,p)}} {\partial {z}}|_{z=0}=\lambda {p^2} U(z,p)|_{z=0}$
$U(0,p)=\frac {u_0} {p}$
$U(z>0,p)=0$

Правильно ли я понимаю, что решение $U(z,p)$ следует искать в виде
$U(z,p)={C_1}{\sh(\frac{p} {\kappa}z)} + {C_2}{\ch(\frac{p} {\kappa}z)}$ ?

И верно ли моё применение преобразований лапласа к начальным и граничным условиям?