Аксиома пустого множества

[Побережный Александр]

В теории множеств в системе аксиом Цермело-Френкеля вводится аксиома пустого множества, которая записывается так:
$\exists a \forall b (b \notin a)$.
Причем, расшифровывается следующим образом: "существует хотя бы одно множество без элементов".
Мне не понятно, что есть $a$ и $b$.
Если это множества, то не корректно вводится знак $\notin$. По идее надо применить знак подмножества $\subset$.
Если это элементы множеств, то снова не корректно. Элемент множества не может принадлежать другому элементу.
Вроде, элементы множеств обозначают маленькими буквами, а множества большими.
Тогда $a$ должно обозначаться $A$. Если так обозначить, то знак принадлежности используется корректно. Но не понятно о каких элементах $b$ идет речь. Об элементах множества $A$?

[Xaositect]

Любые термы в ZFC обозначают множества. В ZFC нет ничего, кроме множеств, элементами множеств являются множества.
Давайте переведем $\exists a \forall b (b\notin a)$.
"Существует множество $a$ такое, что никакое множество $b$ не является элементом $a$"
Раз элементами могут быть только множества, то это значит "Существует множество $a$, в котором нет элементов."

[Побережный Александр]

А как различить множество $a$ и элемент $a$?

[Xaositect]

В ZFC объекты не подразделяются на множества и элементы. Любое множество может быть или не быть элементом другого множества и может содержать или не содержать другие множества как элементы.

[Побережный Александр]

А как же тогда с понятиями "подмножество", "объединение", "пересечение"? В их определении используется слово элемент (множества).

[Xaositect]

Имеется в виду, что не может быть просто "элемент $a$". Может быть, что множество $a$ - элемент множества $b$.

Например, подмножество: $a \subset b \Leftrightarrow \forall x (x\in a\to x\in b)$.
$a$ является подмножетсвом $b$, если любое множество $x$, являющееся элементом $a$, является элементом $b$.
Т.е. $a$ является подмножетсвом $b$, если любой элемент $a$ принадлежит также $b$.

[Побережный Александр]

А как записать, что $a$ элемент $b$?

[Xaositect]

Побережный Александр в сообщении #773033 писал(а):

А как записать, что $a$ элемент $b$?

$a\in b$

[Null]

Элементы множеств - тоже множества. Например есть объекты(они же множества,они же элементы) $\emptyset , \{\emptyset \}, \{\{\emptyset \},\emptyset\}$

[Aritaborian]

(про TeX)

$\varnothing$ (\varnothing).

[Побережный Александр]

Xaositect в сообщении #773015 писал(а):

подмножество: $a \subset b \Leftrightarrow \forall x (x\in a\to x\in b)$

Xaositect в сообщении #773036 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #773033
писал:
А как записать, что $a$ элемент $b$?
$a\in b$

Тогда чем отличаются выражения "множество $a$ принадлежит множеству $b$" и "множество $a$ есть подмножество множества $b$"?
Судя по написанию, отличие должно быть...

[provincialka]

Ну, потому что это разные множества. Например, множество девушек-студенток есть подмножество множества всех студентов. А студенческая группа (которая тоже множество, согласитесь) есть элемент множества групп факультета, тот, в свою очередь - элемент множества факультетов вуза и т.д

-- 09.10.2013, 22:42 --

(Оффтоп)

Во всех частях земного шара имеются свои, иногда даже очень любопытные, другие части

[Побережный Александр]

provincialka в сообщении #773191 писал(а):

А студенческая группа (которая тоже множество, согласитесь) есть элемент множества групп факультета, тот, в свою очередь - элемент множества факультетов вуза и т.д

Тогда надо определить, что такое элемент множества. До этого я считал, что это объекты, из чего состоит множество. Если элемент множества есть само множество, то нормально будет звучать "студенческая группа есть подмножество множества групп факультета".
Напрашивается мысль, что понятие "элемент множества" в этой теории излишний...

[Aritaborian]

Побережный Александр в сообщении #773205 писал(а):

Напрашивается мысль, что понятие "элемент множества" в этой теории излишний...

Так было же сказано:

Xaositect в сообщении #772964 писал(а):

В ZFC объекты не подразделяются на множества и элементы. Любое множество может быть или не быть элементом другого множества и может содержать или не содержать другие множества как элементы.

Но отношение принадлежности при этом отнюдь не излишне.

Побережный Александр в сообщении #773205 писал(а):

нормально будет звучать "студенческая группа есть подмножество множества групп факультета".

Нет, это неверно.

[Xaositect]

Побережный Александр в сообщении #773182 писал(а):

Тогда чем отличаются выражения "множество $a$ принадлежит множеству $b$" и "множество $a$ есть подмножество множества $b$"?

Принадлежность - это фундаментальное понятие теории множеств, его определение дается в аксиомах. А "$a$ является подмножеством $b$" означает то, что я написал - $\forall x (x\in a\to x\in b)$.

Отношения "являться элементом" и "являться подмножеством" для данных двух множеств могут выполняться в любых комбинациях. Например:
\begin{align*}\varnothing &\in \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\},\quad &\varnothing &\subset \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}\\ \{\{\varnothing\}\} &\in \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\},\quad &\{\{\varnothing\}\} &\not\subset \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}\\ \{\varnothing\} &\notin \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\},\quad & \{\varnothing\} &\subset \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}\\ \{\varnothing, \{\varnothing\}\} &\notin \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\},\quad & \{\varnothing, \{\varnothing\}\} &\not\subset \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\} \end{align*}