Корректность задания о единств. решения дифф уравнения

[Alexey1]

Здравствуйте!
Скажите корректно-ли следующее задание без уточнения области, где должно находиться решение.

"Используя теорему о единственности решения однородного дифференциального уравнения покажите что нижеперечисленные уравнения имеют единственное решение проходящее через указанную точку".

С Уважением,
Алексей.

[Дмитрий Хованский]

Если я правильно понял ваш вопрос, его можно переформулировать так:

Может ли быть, что решение существует и единственно на некотором интервале $I_1$, содержащем начальную точку, а на более широком интервале $I_2$ ($I_1\subset I_2$) есть другие решения, совпадающие с первым только на $I_1$ (в силу локальной теоремы о существовании и единственности решения). Но тогда решения, определенные на $I_2$ - есть продолжения исходного решения и, значит, они все совпадают (т.е. продолжение определяется единственным образом, см., например книгу Л. С. Понтрягина "ОДУ").

Таким образом, да такая постановка задачи корректна. Указывать изначально область определения решения - несколько странно, она вообще говоря, неизвестна. Можно построить решение и указать максимальную область его существования. Там оно будет единственным.

[Someone]

О каком уравнении идёт речь? О линейном? Если о линейном ($y^{n}+p_1(x)y^{n-1}+\ldots+p_n(x)y=0$), то у него решение задачи Коши существует и единственно на всём интервале, на котором коэффициенты непрерывны.

Для нелинейного уравнения возможна ситуация, когда решение единственно на некотором интервале, но не единственно на более широком из-за существования особых решений. В качестве примера можно рассмотреть уравнение $y'=3\sqrt[3]{y^2}$, у которого есть особое решение $y=0$.

[Дмитрий Хованский]

Someone

Совершенно верно. Мне просто показалось, что вопрос состоит в том, может ли быть у ОДУ два решения с разной областью определения и с одной начальной точкой. В вашем примере $\dot{x}=3x^{2/3}$ через любую точку проходит бесконечное число решений. То есть нет такого интервала на оси $t$, где решение единственно. Вывод: если решение единственно на некотором интервале и его можно продолжить на более широкий интервал, то это можно сделать только единственным образом. Поэтому говорить о единственности можно без всякого упоминания об области, где находится решение. При этом не важно, какого вида уравнение - линейное или нет, важно, чтобы оно представлялось в виде нормальной системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t,\mathbf{x})$

[Someone]

Для уравнения $y'=3\sqrt[3]{y^2}$ в областях $y>0$ и $y<0$ справедлива теорема единственности решения, поэтому, например, в области $y>0$ существует единственное решение $y=x^3$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=1}=1$; это решение определено, таким образом, на интервале $(0;+\infty)$. Решение можно продолжить на интервал $(-\infty;+\infty)$, но неоднозначно: функции $y_1=x^3$ и $y_2=\begin{cases}(x+1)^3\text{ при }x<-1\text{,}\\ 0\text{ при }-1\leqslant x\leqslant 0\text{,}\\ x^3\text{ при }x>0\end{cases}$ обе являются решением указанной задачи Коши.

Но, вообще говоря, когда говорят о единственности решения задачи Коши, подразумевается "локальная" единственность: решения должны совпадать в достаточно малой окрестности начальной точки.

[Дмитрий Хованский]

Someone

Согласен . Был неправ. Если нарушается условие единственности, то продолжений решения может быть много, несмотря на то, что локальная теорема существования и единственности верна.

[Alexey1]

Дело в том, что если условия теоремы не соблюдаются, то отсюда не следует, что уравнение имеет несколько решений. Как же можно доказать, что уравнение имеет одно решение проходящее через заданную точку если условия теоремы не соблюдаются. Это можно сделать, только если дано множество на котором надо искать решение.

[Someone]

Alexey1 писал(а):

"Используя теорему о единственности решения однородного дифференциального уравнения покажите что нижеперечисленные уравнения имеют единственное решение проходящее через указанную точку".

Судя по формулировке задания, условия теоремы должны соблюдаться, и задача состоит в проверке этого.

Alexey1 писал(а):

Как же можно доказать, что уравнение имеет одно решение проходящее через заданную точку если условия теоремы не соблюдаются.

Единственность решения задачи Коши обычно понимается локально, то есть, в какой-нибудь достаточно малой окрестности начальной точки. Например, в том примере, который я приводил, в каждой точке областей $y>0$ и $y<0$ выполнены условия теоремы Пикара, поэтому решение, проходящее через точку $(x_0;y_0)=(1;1)$ единственно. Но единственность предполагается не на всей области существования решения, а только в некотором интервале, содержащем точку $x_0=1$ (например, $|x-1|<1$). То, что вне этого интервала решение перестаёт быть единственным, неважно.

А вообще, Вы не могли бы привести точную формулировку задачи?

[Alexey1]

Вы совершенно правы. Задача состоит в проверке этого. Но уравнения не удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому я и интересуюсь корретностью.

[Someone]

Alexey1 писал(а):

Вы совершенно правы. Задача состоит в проверке этого. Но уравнения не удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому я и интересуюсь корретностью.

А в окрестности начальной точки они удовлетворяют? Этого достаточно. Уравнение из моего примера тоже не удовлетворяет условиям теоремы Пикара на всей плоскости.

[Alexey1]

Если условия теоремы не соблюдаются, то может быть ситуация, когда у уравнения существуют несколько решений проходящих через заданную точку, но в окрестности данной точки условия теоремы соблюдаются. Поэтому, в окрестности точки существует единственное решение, но решение как таковое не единственно, если рассматривать всю плоскость.