Дифференциальные уравнения третьего порядка.

[sum_feature]

Помогите разобраться, пожалуйста, как решать такие уравнения:
$(t^2+1)x'''+x-1=0$

[Ms-dos4]

sum_feature
Откуда вы взяли это уравнение?

[sum_feature]

Ms-dos4 в сообщении #768155 писал(а):

sum_feature
Откуда вы взяли это уравнение?

Университетское задание, задали домой решать.

[Ms-dos4]

Именно в таком виде? Практически нереально. Хотя конечно есть вероятность что именно такие коэффициенты как то решаются но... В общем универсального алгоритма решения ЛДУ с переменными коэффициентами нет. Можно искать частные решения и понижать порядок. Можно искать с помощью рядов. Но всё равно удаётся решить лишь какие-то частные случаи. А уж третий порядок... Скорее всего вы(или преподаватели) что-то напутали. Можете посмотреть в справочнике Зайцева и Полянина, возможно там есть ваш дифур.

[ИСН]

Короче, скорее всего, и уравнение не такое, и делать с ним надо было не то (не "решать").

[CptPwnage]

Частное решение $x = 1$

[bme]

У меня возникла такая мысль: $x-1=u$, получаем более простое уравнение
$u'''(t^2+1)=-u$, которое заменами $u''=z$ и
$u'=y$ можно свести к системе уравнений 1 порядка и дальше пытаться как-то решать..

P.S: мне кажется, мысль о том, что задача - "не та" - непродуктивна, т.к. нет доказательств того, что уравнение не решается аналитически

[Ms-dos4]

bme
Что то я не понял про сведение к системе уравнений. Продемонстрируйте решение.
P.S.Доказательств то нет, но наводящих на это признаков - масса.

[provincialka]

Ms-dos4 в сообщении #771935 писал(а):

Что то я не понял про сведение к системе уравнений. Продемонстрируйте решение.

Всякое уравнение третьего порядка можно свести к системе. Даже и без предложенной замены. Другое дело, поможет ли...

[Ms-dos4]

provincialka
Нет, я в смысле: чем система лучше?

[provincialka]

Ms-dos4 в сообщении #771937 писал(а):

provincialka
Нет, я в смысле: чем система лучше?

Утопающий хватается за соломинку. Не лучше, конечно.

[Евгений Машеров]

А в виде ряда не спасёт?
$x(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4+\ldots$
Выписываем третью производную, умножаем на $t^2+1$, приравниваем...
И, кстати, какая тема изучалась перед выдачей задания?

[Portnov]

Евгений Машеров, я даже смеху ради нашёл этот ряд. Одна беда — у него область сходимости $(-1; +1)$. Коэффициенты слишком медленно убывают. Теоретически это можно преодолеть, если потом раскладывать в ряды в окрестности других точек. Но практически это означает, что данный метод для данного уравнения лучше не применять, найти какой-нибудь другой.

[sum_feature]

Евгений Машеров в сообщении #772341 писал(а):

И, кстати, какая тема изучалась перед выдачей задания?

Темы, как таковой, не было - диффур шел с пометкой "Повторение материала второго курса". Что за это время удалось выбить у преподавателя - уравнение правильное, задание сформулировано верно - его нужно решить. Решать нужно через систему, но как это делать - я понятия не имею, к сожалению:с

[Oleg Zubelevich]

Portnov в сообщении #772527 писал(а):

Одна беда — у него область сходимости $(-1; +1)$

это не беда, это естественно, коэффициент при старшей производной обращается в 0 в точках $t=\pm i$ Радиус сходимости ряда =1