Оператор Stretch & Fold

[Dave]

Открыл один интересный оператор.

Пусть $n$ - произвольное натуральное число, $S(z_1,z_2,\dots,z_n)$ - произвольный симметрический многочлен от $n$ переменных. Рассмотрим оператор $\mathcal S(f)$, действующий на функцию комплексной переменной $f(z)$ по закону

$$\mathcal S(f) \; (z)= S \Big(f\left(\langle \! \sqrt[n] z \rangle _1\right), f\left(\langle \! \sqrt[n] z \rangle _2\right),\dots,f\left(\langle \! \sqrt[n] z \rangle _n\right)\Big),$$

где $\langle \! \sqrt[n] z \rangle _1,\langle \! \sqrt[n] z \rangle _2,\dots,\langle \! \sqrt[n] z \rangle _n$ - все корни $n$-й степени из переменной $z$.

Тогда действие этого оператора на любой многочлен также представляет из себя многочлен, и, вдобавок к этому, если коэффициенты исходного многочлена и многочлена $S$ действительные (рациональные, целые), то и действие оператора представляет из себя многочлен с действительными (рациональными, целыми) коэффициентами.
К примеру, если $S(z_1,z_2,\dots,z_n)=(-1)^{(n-1)m} z_1 z_2 \dots z_n$, а $f(z)$ - приведённый многочлен степени $m$, то $\mathcal S(f)=(-1)^{(n-1)m} \prod\limits_{i=1}^n {f\big(\langle \! \sqrt[n] z \rangle _i\big)}$ есть (однозначно определяемый) приведённый многочлен той же степени, что и $f$, корни которого являются $n$-ми степенями корней $f$. Как следует из определения, оператор применим не только к многочленам $f(z)$, но и к произвольным функциям, определённых как минимум в некотором кольце с центром в нуле и при таком многочлене $S$ "возводит" в $n$-ю степень нули и, по идее, полюса этой функции.

Обобщение. В определении оператора можно брать не корни $n$-й степени из переменной, т.е. решения уравнения $x^n-z=0$, а корни произвольного уравнения вида

$$x^n+P_{n-1}(z)x^{n-1}+P_{n-2}(z)x^{n-2}+\ldots+P_1(z)x+P_0(z)=0,$$

где $P_i(z)$ - любые многочлены (с коэффициентами из соответствующего кольца) от переменной $z$.

Сталкивался ли кто-нибудь с подобным оператором? Имеет ли он какое-либо применение?