Сумма простых показателей

[Побережный Александр]

Известно, что $ \sum\frac1{2^n}=1$.
Чему будет равна $ \sum\frac1{2^p}$, где $p$ - простые числа?
Как я понимаю, самое маленькое простое - это 2.

[nnosipov]

Название темы какое-то бессмысленное и оторвано от её содержания.

Побережный Александр в сообщении #769608 писал(а):

Чему будет равна $ \sum\frac1{2^p}$, где $p$ - простые числа?

Положительному числу, меньшему единицы. При желании можно приближённо вычислить.

Что эта тема делает в олимпиадном разделе, непонятно.

[Null]

nnosipov в сообщении #769681 писал(а):

Что эта тема делает в олимпиадном разделе, непонятно.

Я полагаю что ТС знает о сходимости ряда и интересуется выражением суммы через известные константы и функции. По умолчанию это $e$, $\pi$ и элементарные функции.

[Побережный Александр]

nnosipov в сообщении #769681 писал(а):

Что эта тема делает в олимпиадном разделе, непонятно.

Не совсем понял, почему эта задача не может быть олимпиадной...
Но пока для себя сделал оценку сверху $\sum\frac1{2^p}<\frac{219}{504}$

[Cash]

Оценку можно получить так:
Считаем сумму первых $n$ членов ряда $S_n = \frac{1}{2^1}+ \ldots + \frac{1}{2^{p_n}}$
Остаток можно оценить сверху суммой геометрической прогрессии со знаменателем $\frac 14$ и первым членом $2^{-p_{n+1}}$. Эта сумма равна $3 \cdot 2^{-p_{n+1}+2}$.
Например, берем $n=4$ и получаем
$\frac{53}{128} < S < \frac {215}{512}$

$0.4140 < S < 0.4200$

А взяв $n=8$ уже получим 5 верных цифр

$0.4146823 < S < 0.4146839$

[whitefox]

$\sum\limits_p\frac1{2^p}=\sum\limits_{n\geqslant1}\frac{\mu(n)}{2^n-1}$

[Побережный Александр]

Побережный Александр в сообщении #769839 писал(а):

Но пока для себя сделал оценку сверху $\sum\frac1{2^p}<\frac{219}{504}$

У меня вкралась ошибка. Должно быть $\sum\limits_p\frac1{2^p}<\frac{209}{504}$.
Я рассуждал следующим образом:
$\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\frac1{2^5}+\frac1{2^6}+...=1$
Переношу вправо к единице элементы с четными показателями и кратные трем.
$\sum\limits_p\frac1{2^p}<1-\frac12-(\frac1{2^4}+\frac1{2^6}+\frac1{2^8}+\frac1{2^{10}}+...)-(\frac1{2^6}+\frac1{2^9}+\frac1{2^{12}}+\frac1{2^{15}}+...)+(\frac1{2^6}+\frac1{2^{12}}+\frac1{2^{18}}+...)=1-\frac12-\frac1{12}-\frac1{56}+\frac1{63}=\frac{209}{504}$
В скобках обычные геометрические прогрессии.
Поэтому и получилась моя оценка: $\sum\limits_p\frac1{2^p}<\frac{209}{504}$

[nnosipov]

Побережный Александр в сообщении #769839 писал(а):

Не совсем понял, почему эта задача не может быть олимпиадной...

Потому что она даже толком не сформулирована: каждый может придать фразе "Чему равна сумма ..." собственный смысл. Вообще, подобным вопросам место в разделе "ПР/Р".