плотность пространства тест-функций в пространстве Соболева

[dikiy]

Oleg Zubelevich в сообщении #768635 писал(а):

dikiy в сообщении #768622 писал(а):

То есть не существует компактного вложения $W_{2,\mu}^1[0,\infty)$ в $L_{2,\mu}[0,\infty)$.

не факт, подумать надо

доказанный факт. Смотрите Robert Adams - Sobolev Spaces. Там есть теорема 6.45 и следствие 6.46. (страница 192-193).

Ну и еще Antoci в статье Some necessary and some sufficient conditions for the compactness of the embedding of weighted sobolev spaces это указывает.

-- 28.09.2013, 14:24 --

ewert в сообщении #768643 писал(а):

dikiy в сообщении #768622 писал(а):

Но в общем-то это оставляет в силе вопрос из топика. лежат они плотно, или все таки не лежат??

Лежат независимо от меры -- просто потому, что соболевские финитные функции плотны. Поскольку любую соболевскую можно сколь угодно точно приблизить финитной, умножив её на функцию вида $\varphi(\varepsilon x)$, где $\varphi(t)$ -- сглаженная ступенька.

Что такое соболевская фукнция? В Мазье есть об этом?

[ewert]

dikiy в сообщении #768645 писал(а):

В Мазье есть об этом?

Не думаю. Просто произвольная функция из класса Соболева.

[sup]

dikiy в сообщении #768622 писал(а):

Собственно в моем случае $\mu(t)= \exp(-t)$.

Для экспоненциального веса справедливы неравенства типа Харди:
Существует абсолютная константа $C$, такая, что для любой $u \in C_0^{\infty}(0,\infty)$ и любых $\alpha \geqslant 0, k \geqslant 0$

$$ \int \limits_0^{\infty} \frac{u'^2(x)e^{-\alpha x}}{x^k}dx \geqslant C \int \limits_0^{\infty} \frac{u^2(x)e^{-\alpha x}}{x^{k+2}}dx$$

Более того, эти неравенства можно "скрестить" с неравенствами Трева. Пусть $P(\lambda)$ - полином с комплексными коэффициентами. Обозначим $P_1(\lambda) = P'(\lambda)$, $P_2(\lambda) = P''(\lambda)$ и тд. Положим, $L = P(\frac {d}{dx})$ и $L_n = P_n(\frac {d}{dx})$
Тогда существует константа $C(n)$, такая, что для любой $u \in C_0^{\infty}(0,\infty)$ и любых $\alpha \geqslant 0, k \geqslant 0$

$$ \int \limits_0^{\infty} \frac{|Lu|^2e^{-\alpha x}}{x^k}dx \geqslant C(n) \int \limits_0^{\infty} \frac{|L_nu|^2e^{-\alpha x}}{x^{k+2n}}dx$$

[dikiy]

спасибо! Я натыкался в процессе поиска на неравенства Харди. Но там все время шла речь о области "Джона" - John domain. Я так и не понял, что это за область такая.

Ну и вообще неравенства выглядели довольно устрашающе, не похоже на те простые формы, что привели вы.

Ну и кстати я так и не разобрался с вопросом плотности $C_0^\infty$ в $W_{2,\mu}^1$. Тут товарищ Олег и ewert говорили, что да - плотны. Но в литературе я указаний не нашел. Самому доказать не получается - не хватает свободного знания целевых теорем.

[sup]

Ну так Вам же ewert уже все написал. Меня что-то заклинило на этих неравенствах Харди, а все гораздо проще.
Пусть $\varphi(x)$ гладкая, финитная функция, такая, что $\varphi(x)=1$ при $x \in [0,1]$ .
Пусть $u \in W_{2,\mu}^1[0,\infty)$. Для всякого $\varepsilon > 0$ положим $u_{\varepsilon}(x) = u(x)\varphi(\varepsilon x)$. Ясно, что $u_{\varepsilon}$ финитна и $u(x) = u_{\varepsilon}(x)$ при $x \in [0,1/\varepsilon]$. Отсюда легко получить неравенство
$\int \limits_0^{\infty}\left ( (u(x) - u_{\varepsilon}(x))^2 + (u'(x) - u'_{\varepsilon}(x))^2 \right)\mu(x)dx \leqslant C\int \limits_{1/\varepsilon}^{\infty}\left ( u^2(x)+u'^2(x)\right)\mu(x)dx $
Вот и приближение финитной функцией (правую часть можно сделать сколь угодно малой). А гладкость можно получить с помощью усреднения.