Помогите посчитать сумму

[Joe Black]

Помогите пожалуйста посчитать следующую сумму:

$\sum_{k=0}^n{k(C_{n}^k)^2} = ?$

[Sonic86]

Докажите соотношение

$$\sum\limits_{i+j=k}\binom{n}{i}\binom{m}{j}=\binom{n+m}{k}$$

и воспользуйтесь им.
Больше ничего не могу подсказать, пока не увижу, как Вы пытались считать сумму.

[Joe Black]

задача изначально звучит так: $X,Y$ - i.i.d биномиальные величины. Найти условное мат ожидание $X$ при условии $X+Y=n$

-- 30.09.2013, 16:13 --

Получил условную веротность: $ P=(X|X+Y=n)=\frac{(C_n^k)^2}{C_m^n} $ где $m=2n$

-- 30.09.2013, 16:13 --

Правильную ли я сумму ищу?

[Sonic86]

Joe Black в сообщении #769365 писал(а):

задача изначально звучит так: $X,Y$ - i.i.d биномиальные величины.

На множестве $\{0,1,...,n\}$?

[Joe Black]

да

-- 30.09.2013, 16:22 --

т.е. они принимуют значения от 0 да бесконечности

[Sonic86]

Joe Black в сообщении #769370 писал(а):

т.е. они принимуют значения от 0 да бесконечности

Joe Black в сообщении #769365 писал(а):

задача изначально звучит так: $X,Y$ - i.i.d биномиальные величины.

Видимо, все же значения $X,Y$ из $\{0,...,n\}$.
Знаменатель в условной вероятности правильный.
А левая часть на самом деле имеет вид $P(X=k|X+Y=n)$.
Ну да, все правильно.
Правда, по идее, если формула упрощаема, то существует простое рассуждение, сразу к ней приводящее. Можно попробовать его найти тоже.
Вы пока сумму считайте. У Вас есть вариант значения суммы?

[Joe Black]

есть подсказка что можно как-то посчитать через свойства условного мат ожидания

[Sonic86]

Joe Black в сообщении #769373 писал(а):

есть подсказка что можно как-то посчитать через свойства условного мат ожидания

к сожалению, не силен, проверить не могу. Напишите, как пытались с условным матожиданием, может и подскажу чего.

[Joe Black]

Есть такая идея: $E(X|X+Y=Z) = || $ подставляем вместо $X=Z-Y$ $|| E(Z-Y|Z) = E(Z|Z) - E(Y|Z) = Z - E(X|Z)$ так как $Z=n$, то $2E(X|X+Y) = n$ следовательно $E(X|X+Y) = n/2$

[--mS--]

Как-то Вы потеряли обычные матожидания по событию $\mathsf E(X\,|\,X+Y=n)$ и заменили их условными матожиданиями $\mathsf E(X\,|\,X+Y)$, которых тут и в помине нет. Не надо никаких $Z$, если Вы действительно ищете первое матожидание, а не второе. У Вас $Z$ - не случайная величина, а число $n$.
Всё хорошо в этом рассуждении, только доказывать нужно, что $\mathsf E(X\,|\,X+Y=n)=\mathsf E(Y\,|\,X+Y=n)$. Например, сравнив условные распределения $X$ и $Y$ на событии $\{X+Y=n\}$.

[Joe Black]

$E(X|X+Y=n)=E(Y|X+Y=n)$ т.к. они iid

[--mS--]

А если сюда добавить "зуб на вынос даю", доказательство станет ещё более аргументированным

[Joe Black]

Ну вы с этим выражением согласны?)

[--mS--]

Конечно. Я же умею это доказывать. А Вы?

[Joe Black]

Ну так как сл велич X и Y iid то получается, что неважно от какой из них берём E